线性代数(袁明生)第1章行列式.ppt

推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则 它的系数行列式 D ＝０． 注： 在第三章中还将证明这个条件也是充分的 ．即 有非零解 例2：判定齐次线性方程组 是否仅有零解。 例3：如果下列齐次线性方程组有非零解， k 应为何值？ 作业：P26 1（3）（6） 2，3 行列式复习总结 * 证： 先证　　　　的情形，即 由行列式的定义，有 结论成立。 一般情形： 定理1.4 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 或 行列式按行（列）展开法则 证： 例：分别按第一行与第二行展开行列式 计算行列式方法（3）：按行按列展开 计算行列式时，可以按 0 元素较多的行（列）展开，变为低一阶行列式来计算，如此下去，直到化为三阶或二阶行列式来计算；如果没有0 元素较多的行（列），则利用行列式性质，将某行（列）化出更多的 0 元素，然后按该行（列）展开，变为低一阶行列式来计算。 注：在解题时，常把“按行（列）展开计算”和“利用行列式性质来计算”这两个方法搭配使用。 例1： 例2： 例3：讨论当 k 为何值时， 例4：求证 例5：证明范德蒙行列式 范德蒙行列式 中至少两个相等． 注： 例6： 定理1.5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 相同 ∴ 当 时, 同理可证, 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质： 例7：设 　　　　　　　　　 ， 答案：4；0；-65. 作业：P22 2（2），3 4（2）（3）（4）（5）（6） 5（2） 二、非齐次与齐次线性方程组的概念 一、克莱姆法则及有关定理 引言：用消元法解二元线性方程组 (1) (2) 原方程组有唯一解 若记 则当　　　时该方程组的解为 在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 当 时，有唯一解 其中 (1) 那么对于一般的含 n 个方程的 n 元线性方程组： 它的系数构成的行列式 D 称为系数行列式，即 定理1.7：克莱姆（Cramer）法则 当行列式 ，则方程组(１)有唯一解 其中 是把行列式 中第 列 所得的一个 n 阶行列式，即 的元素用方程组（1）的常数项　　　　　代换　　　　　　　　　　　　 例1：解线性方程组 非齐次与齐交线性方程组的概念 设线性方程组　　　 (1) 非齐次线性方程组．　　　 若常数项　　　　　不全为零，则称（1）为　　　 则称（2）为齐次线性方程组． 　　　 (2) 若常数项　　　　　　　　　 即　　　　　　　　 撇开求解公式，克莱姆法则可叙述为下面的定理 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的． 定理 如果线性方程组（1）的系数行列式 推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式　必为零． 则方程组（2）没有非零解，即只有零解． 定理1.8 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 （2） 对于齐次线性方程组 （2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解． 注： 一定是它的解，称之为零解． n 级行列式的等价定义（1） 定理1.3: 这里 表示对所有1、2、… 、 n的n级排列和． n 级行列式的等价定义（2） 例3：若 是五阶行列式 的一项，则 i，j，k 应为 何值？此时该项的符号是什么？ 例4：设多项式 求（1） 的系数， （2） 的常数项。 作业： P3 1（3）（4）（6）（7）， 2（1）（3）（5）， P8 2，4，5 转置行列式 行列式 设 称为D的转置行列式， 记作 　或 行列互换，行列式不变，即 性质1 性质2 ：交换行列式的两行（列），行列式的值变号 . 推论：若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 . 性质3：用数 k 乘以行列式某一行（列）等于数 k 乘以该行列式，即: 推论： （1）行列式某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面； （2）行列式D的两行(列)对应元素成比例，则D=0； （3） 行列式D中一行(列)所有元素为零，则D=0。 若行列式的某一行（列）的元素都是两数 之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式 之和，即 性质4 性质5： 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变，即 推论：如果行列式的某一行