线性代数复习内容.doc

第一章知识点 一．代数余子式和余子式 1. 表示方法：表示元素的代数余子式； 表示元素的余子式。 其中是行列式第i行第j列的元素。 二者关系： 2. 代数余子式和余子式的求法 例：对于行列式，求和 解：表示的代数余子式，表示的余子式，划去所在的第二行和第三列上的所有元素，剩下的元素组成的行列式即为的余子式 根据代数余子式和余子式的关系可知 二．行列式的性质 性质1：转置不改变行列式的值。 比如（两个行列式互为转置） 性质2：交换行列式中两行（列），行列式变号。 比如（交换了第一行和第二行） 推论1：若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0 比如（第二行和第三行完全相同） 性质3：行列式某行（列）上的公因子可提到行列式之外，或者说用某数乘行列式某行的所有元素，等于用该数乘该行列式。 比如：（第二行上的公因子2提到了行列式之外） 推论2：若行列式某行（列）全为0，或者某两行（列）成比例，则该行列式为0 比如：（第一行全为0） （第二行和第三行对应成比例） 性质4：若行列式中某行（列）每个元素都是两个数之和，则可按该行（列）将行列式分裂为两个行列式之和 比如： 性质5：将行列式中某行（列）的每个元素都加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式的值不变。 比如：（相当于将左边行列式中第一行的元素都可以2倍加到第3行，行列式的值不变。） 性质6：行列式任一行（列）上所有元素与它的代数余子式的乘积之和等于行列式的值；而任一行（列）上所有元素与另一行（列）对应元素代数余子式的乘积之和等于0 比如： 行列式的计算方法 1. 对角线法则，此法只能用于2阶和3阶的行列式 2. 化成三角形行列式（一般我们化成上三角形行列式） 克拉默法则 该法则只能在方程的个数等于未知数个数，且方程组系数行列式不等于0的条件下才能用，切记！！！ 建议大家在方程的个数=未知数的个数=2或者=3的时候用，因为此时系数行列式是2阶或者3阶行列式，比较容易计算，一旦阶数高了就不要选择克拉默法则了。 具体例题参见书P24例1.4.1 知识点 矩阵 1. 一般的矩阵记为矩阵，表示该矩阵的行数为m行，列数为n列，比如矩阵就是一个矩阵，有2行3列。如果一个矩阵的行数和列数相同，则称为方阵，比如，记为2阶方阵。 2. 矩阵常用大写英文字母表示，比如或者 矩阵与行列式的区别：首先，矩阵外面是“（）”，行列式外面是“| |”；其次，矩阵的行数和列数可以不同，但行列式的行数和列数一定相同；最后，矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，算出来等于一个数。 4. 几种特殊矩阵，尤其注意单位阵不是唯一的，零矩阵也不是唯一的，见书P34-35，比如 （2阶单位阵） （3阶单位阵） 零矩阵的情况类似。 矩阵的运算 1. 矩阵的加法、减法 矩阵在作加法和减法时，一定要满足同型，即相加或相减的矩阵具有相同的行数和列数。相加时，对应位置上的元素相加；相减时，对应位置上的元素相减。 2. 矩阵的数乘 3. 矩阵的乘法 矩阵在作乘法时，一定要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，否则，不能相乘。得到的新矩阵行数由第一个矩阵的行数决定，列数由第二个矩阵的列数决定。 4. 矩阵是没有除法的。 矩阵满足的运算规律 1. 数乘结合律（k是一个数） 2. 分配律 3. 乘法结合律 但请注意，矩阵的乘法不满足交换律，即 4. 单位阵E乘以任何矩阵都等于该矩阵，即，但中的单位矩阵E不是同一个，除非A是方阵，比如 而 从此例看出，两个式子中的单位阵根本就不是同一个单位阵。 5. 方阵才有幂，方阵的幂记为，其中m是正整数，且有 但 四．矩阵的转置、对称、反对称、行列式 1. 矩阵A的转置记为，求矩阵的转置时，只需将第i行第j列的元素换到第j行第i列，即 ， 关于转置的几个公式易考： 2. 当时，矩阵A称为对称矩阵；当时，矩阵A称为反对称矩阵。 或者说当时，矩阵A称为对称矩阵；当时，矩阵A称为反对称矩阵。 对称矩阵从直观上很好判断，即对应位置上的元素都是关于住主对角线对称的，如： 3. 只有方阵才有行列式，方阵的行列式就是将方阵外的‘（）’换成‘| |’，即 关于方阵的行列式记住以下几个： 例：若已知方阵A和B满足，则可知 所以，，且 逆矩阵 1. 方阵才有逆矩阵，一般矩阵