线性代数-董永胜.ppt

对于二次型,我们主要讨论它化简问题:寻找可逆的线性变换 （4-8） 将其代入二次型(4-5)中,使二次型变换成只含有平方项 （4-9） 这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(canonical form of quadratic form )。 在线性变换（4-8）中，若记 则可将线性变换（4-8）式写成 X = C Y .把线性变换X = CY代 入二次型(4-7)式中有 （4-10） 其中 而且 所以矩阵B也是对称的。这表明一个二次型(变量为 的二次型）经过可逆变换仍然变为二次型（变量 的二次型）。二次型的矩阵A与B有如下关系： 定义4.4.2： 设A，B是两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵 C,使 则称B与A合同(congruent)。 的充分必要条件是: 因为 所以化二次型（4-6）为平方和的问题,实质上就是使得实对称 矩阵A合同于对角矩阵,也就是求一个可逆矩阵C,使得 为对角矩阵。根据矩阵对角化的理论可以得到如下的结论： (1)任何一个实二次型均可经过可逆线性变换化为平方和形式。 (2)任何一个实二次型均可经过正交线性变换 X=PY (P为正交 矩阵)化为平方和 是A的特征值). 4.4.2用正交变换化二次型为标准形 根据关于二次型的结论(2)可知,经过一个正交变换X=PY可以 把一实二次型 化为标准形. 例2 用正交变换化二次型 为标准形，并求所用正交变换。 解： 二次型的矩阵为 由4.3节例4得一个正交矩阵 作正交变换 得二次型的标准形： 二次型 化为标准形后,所得标准形是 唯一的,但在标准形中系数不等于零的平方项的个数是由A的秩 r所唯一确定的,并且在标准形中系数为正的平方项的个数p与 系数为负的平方项的个数r-p也都是唯一确定的，它们依次称为 实二次型 的正惯性指数 (positive index of inertia)与负惯性指数(negative index of inertia),而正惯性指数 与负惯性指数的差 p-(r-p)=2p-r 称为实二次型 的符号差(signature)。 例3 求一个正交变换X=PY,把二次型 化为标准形。 解： 二次型的矩阵是 求得特征值 求得特征向量 正交标准化 得 写出正交矩阵 可得正交变换 代入二次型得 *4.4.3用配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型为标准形，具有保持几何形状不变的优 点。如果不限于用正交变换，那末还可以用配方法化二次型为 标准。 例4 化二次型 为标准形，并求所用的可逆变换矩阵。 解： 经配方有 令 即 就把二次型化为标准形： 所用的可逆变换矩阵为 （|C|=1≠0）。 例5 化二次型 为标准形，并求所用的可逆变换矩阵。 解： 因二次型中仅含交叉项，所以 令 代入可得 再配方，得 令 即 即有标准形： 所用的变换矩阵为 （|C|=-2≠0）。 小结:本节定义了二次型、标准形、合同矩阵、正(负)惯性指 数及符号差.给出了作正交变换法和配方法化二次型为标准形的 方法. 要求掌握概念,会用正交变换法和配方法化二次型为标准形。 4.5正定二次型 4.5.1实二次型的分类 定义4.5.1： 设有实二次型 对任何 一组不全为零的的实数 若有 则称二次型 为正定二次型(positive definite quadratic form)。若有 则称二次型 定二次型(negative definite quadratic form) 。若有 为负 ≥0 则称二次型 为半正定二次型(positive semidefinite quadratic form)。若有 ≤0 ,则称二次型 为半负定二次型(negative semidefinite quadratic form)。既不是 半正定的也不是半负定的二次型称为不定二次型(indefinite qu- adratic form)。若实二次型是正定二次型,则实对称矩阵A称为 正定矩阵(positive matrix ). 4.5.2 正定二次型的判定 定理4.5.1： 实二次型 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。 证 设可逆变换X=CY，使得 充分性： 设(i= 1,2,…,n),任给向量 ,则 故 必要性： 用反证法。b≤0,则当 (单位坐标向量)时， 显然 ,这与 为正定相矛盾, 故 （i=1，2，…，n）。 推论： 实二次型 为正定的充分必要 条件是：A的特征值全为正。 定理4.5.2： 实二次型 为正定的充分 必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正，即 …， 推论: 实二