线性代数第七讲 _矩阵的秩.ppt

一 秩的定义 二 秩的求法  三 秩的性质 第七讲 矩阵的秩 一 矩阵的秩定义 设A是m?n矩阵，从A中任取k行k列, 交叉位置的元素构成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式 k 阶子式： 例1 2 4 2 1 1 0 3 5 2 2 3 1 A= 选定第1、3两行及第2、4两列 1 0 3 2 得一个2阶子式 例2 2 4 2 1 1 0 3 5 2 2 3 1 A= 选定第1、2、3行及第1、3、4列， 得一个3阶子式 2 4 2 2 3 1 3 5 2 矩阵的秩： 设A为m?n矩阵, A中非零的子式最高的阶数r 即：存在r阶子式 不为零，而任何r+1阶子式 皆为零 则称r为矩阵A的秩 记为 R(A)=r rank 规定：当A=O时，规定R(A)=0 若A是n阶矩阵， R(A)=n,则称A矩阵为满秩矩阵 R(A) n,则称A矩阵为降秩矩阵 与元素a12相对应的余子式 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子式 矩阵 A 的一个 3 阶子式 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 ． 例1：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解：在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ． 例1：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零． 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ，因此 R(B) = 3 ． 还存在其它3 阶非零子式吗？ 例1：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数． 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 初等变换求矩阵秩的方法： （证明略） 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例2 解 计算A的3阶子式， 另解 显然，非零行的行数为2， 此方法简单！ 例3 解 第一步 求秩 第二步 求A的一个最高阶非零子式 从矩阵A中选取一个r阶非零子式 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列． 计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 例4：设 ，求矩阵 A 及矩阵 B = (A, b) 的秩． 解： R(A) = 2 R(B) = 3 (6) R(AB) ?min{R(A),R(B)} 三 矩阵秩的一些简单性质 (3) 若 (4) 如果A中有一个r阶子式 (1) R(A)=R(AT) (2) 若 A 为 m×n 矩阵则0? R(A)?min{m, n} (5) 如果A中所有r+1阶子式 小结 (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 1 0 0 1 A= 练习 求矩阵 的秩及一个最高阶 非零子式 1 2 0 -1 3 -1 0 4 1 4 5 1 解 1 0 0 1 A= 1 2 0 -1 3 -1 0 4 1 4 5 1 1 0 0 1 0 2 0 -2 0 -1 0 1 0 4 5 0 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 5 4 0 0 0 0 所以r(A)=3 ——