自动控制原理第四章1-2(改).ppt

第四章 根轨迹法 1948年，伊万思根据反馈系统的开环传递函数与其闭环特征方程式间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法——根轨迹法。由于这种方法简单、实用，既适用于线性定常连续系统，也适用于线性定常离散系统，因而它在控制工程中得到了广泛的应用，并成为经典控制理论的基本分析方法之一。 三、根轨迹的条件方程 幅值方程： 或： 幅角方程： 或： 第二节 绘制根轨迹的基本法则 伊万思提出了绘制根轨迹的一套基本法则。应用这些法则，根据开环传递函数零、极点在S平面上的分布，能较方便地画出闭环特征方程式根的轨迹草图。 一、根轨迹的连续性 二、根轨迹的对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或为共轭复数。根轨迹必然对称于S平面的实轴。 利用这一性质，只需画出S上半平面的根轨迹，S下半平面的根轨迹，可根据对称性作出。 * * 本章主要内容 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 系统根轨迹的绘制 利用根轨迹分析闭环系统 根轨迹定义 例：如图所示二阶系统， - 闭环特征方程为： 闭环传递函数： 系统开环传递函数为： 闭环特征根为： 第一节 根轨迹法的基本概念 一、控制系统的根轨迹 根轨迹定义 闭环特征根为： [讨论]： ① 当Kg=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点 ② 当Kg=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当Kg=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当Kg=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当Kg=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当Kg=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j 由图看到，对应于不同的Kg范围，系统有如下三种不同的工作状态： （1）0≤Kg0.5时，S1、S2为两相异实根。此时系统处于过阻尼状态。当Kg=0时，闭环特征方程式的根就是系统开环传函的极点，即： S1=0，S2=-2 （2）Kg=0.5时， S1、S2为相等的实根，此时系统工作在临界阻尼状态 （3）0.5Kg∞， S1、S2为一对共轭复根，且实部恒等于-1。此时系统工作在欠阻尼状态。 根轨迹定义 控制系统的根轨迹：系统的开环传递函数中某一参数（如Kg）变化时，系统闭环特征方程的根在S平面上变化的轨迹称为根轨迹。 根轨迹定义 根轨迹基本概念 系统的结构图如下： - 闭环传递函数为： 开环传递函数为： 将 表示为零、极点形式，得： 二、根轨迹方程 根轨迹增益Kg与开环增益Ko的关系为： 系统的闭环特征方程为：1+G0（s）=0 根轨迹方程： 或： 即：凡是满足上式的S值，就是闭环特征方程的根，或者说是根轨迹上的一点。 根据根轨迹的条件方程，可以判断S平面上的任意一点So是否是系统根轨迹上的一点（即：是否是闭环特征方程的根) 如：系统开环传函为： 三、根轨迹的分支数：分支数n与系统的阶数相等，也即与系统的开环极点数相等。 四、根轨迹的起点和终点： n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。 有m条根轨迹终止于系统的m个开环零点；其余的（n-m）条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系统的（n-m）个无穷大零点。 五.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。 由根轨迹方程可得： 式中 ， 当Kg→∞，由于mn，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为 两边开m-n次方 利用二项式定理 当 时， ，令 ， 令： 则： 由于： 渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的夹角： [例4-4]系统开环传递函数为： ，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。 [解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。 渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的倾角： 零极点分布和渐近线（红线）如图所示。 六、实轴上的根轨迹： 实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环零点数和极点数的总和为奇数的区间。 [证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。 先看试验点s1点： 所以s1点满足根轨迹相