概率论的与数理统计第二章.ppt

* * * * * * * * * * * * * * 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。 求截面面积 A= pd2/4的分布。 §4.5 随机变量的函数的分布 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等。 一般地、设随机变量X 的分布已知, Y=g (X) (设g是连续函数), 如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。 二、离散型随机变量函数的分布 例2.19 已知 X Pk -1 0 1 求: Y=X2的分布律。 Y Pk 0 1 解：Y的所有可能取值为0，1。由 P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=1/3 P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=1}+P{X=-1}=1/3+1/3=2/3 得Y的分布律为 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。 一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 三、连续型随机变量函数的分布 解：设X、Y的分布函数为FX(x)、 FY(y)，则 例2.20 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度。 FY(y)=P{Y≤y} = P{2X+8 ≤y } 将FY(y)关于y求导数, 可得Y=2X+8的密度函数 故 知当 即8 y 16 时， 由 及 当y取其它值时, 例2.21 设 X 具有概率密度 fX (x), 求Y=X2的概率密度。 求导可得 当 y0 时, 注意到 Y=X2 ≥0，故当 y≤0时， 解: 设Y和X的分布函数分别为FY (y) 和FX (x), 若 则 Y=X2 的概率密度为： 称Y服从自由度为1的c2分布。 从上述两例中可以看到，在求P{Y≤y} 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X，从而得到与 {g(X) ≤ y } 等价的X的不等式 。 例如，用{ X≤ } 代替 {2X+8 ≤ y } 用 代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率。 这种方法叫分布函数法，是求r.v的函数的分布的一种常用方法。 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。 定理 设r.v X具有概率密度 fX(x), -?x?, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意x, 恒有g ′ (x)0或恒有 g ′ (x)0 , 则Y=g(X)是一个连续型r.v, 它的概率密度为 其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数， 2. 若 f(x) 在有限区间[a, b]以外等于零，则只需假设在[a, b]区间上恒有g′ (x)0 或 g ′(x)0，此时， 1. 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上 公式推求Y的密度函数； 注: 例2.22 已知X?N(?, ?2), 求 解： 的概率密度。 且 故 即Y?N(0, 1) 。 例2.23 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度。 解： 在区间(0,1)上, y= g(x)=-2lnx0, 且有反函数 由前述定理得 注意 取绝对值 已知X在(0,1)上服从均匀分布， 代入 fY (y)的表达式中 得 即Y服从参数为2的指数分布。 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }。 这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。 作业 P59：35(1)(2)、36 小结 p (l) E(q) N (m, s2) b (n, p) 1、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数 F(x)=P{X≤y}, -?x?来描述。 若已知X的分布函数, 就能知道X落在任一区间(a, b]上的概率： P{aX≤b}=F(b)-F(a), 这样分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性。 2、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量用分布律P{X=xk}=pk, k=1,2,…来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。 分布律和分布函数有以下关系： F(x)=P{X≤x}= 3、对于连续型随机变量, 给定X的概率密度f(x), 就能确定F(x)。反之，由于f(x)位于积分号之内, 故改变f(x)在个别点的值, 并不改变F(x)的