计算方法 第2章 一元线性方程的解法解析.ppt

第2章 一元非线性方程的解法 §1 二分法 §2 迭代法 §3 切线法(牛顿法) §4 弦截法 §5 加速迭代法 在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如 远在公元前1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的解法。 1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程的解法，卡当(H·Cardano)从他那里得到了这种解法，于1545年在其名著《大法》中公布了三次方程的公式解，称为卡当算法。 后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。 1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。 但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其中的奥妙, 用现代术语表示就是置换群理论问题。 在继续探索5次以上方程解的艰难历程中，第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829) 1824年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能存在”的论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未理解这项成果的重要意义。 十四年后，法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并发表了伽罗华的遗作，人们才意识到这项近代数学发展史上的重要成果的宝贵。 38年后，即1870年，法国数学家若当(C·Jordan)在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华的思想，一门现代数学的分支—群论诞生了。 在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程的有效算法，它们构成了数值分析中的古典算法。至于超越方程则不存在一般的求根方式。 方程根的数值计算步骤 判断根的存在 确定根的分布范围 根的精确化 例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 有哪些信誉好的足球投注网站,列表如下 §1二分法 如此逐次往复下去,便得到一系列有根区间 (a,b),(a1,b1),(a2,b2),…,(ak,bk),… 其中 计算步骤 ： ①输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε; ②(a+b)/2 x; ③若f(a)f(x)＜0，则x b，转向④;否则x a，转向④。 ④若b-a＜ε,则输出方程满足精度的根x，结束；否则转向②。 例1 求方程 ? f(x)=x3-x-1=0 ?在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数计算,精确到10-2。 解： 这里 a=1，b=1.5 取区间(1，1.5)的中点 由于f（1）＜0，f（1.5）0 f(1.25)＜0,则令 ?a1=1.25, b1=1.5 ?得到新的有根区间(1.25,1.5) §2 迭代法 迭代法的基本思想是: 首先将方程f(x)改写成某种等价形式，由等价形式构造相应的迭代公式，然后选取方程的某个初始近似根x0，代入迭代公式反复校正根的近似值，直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算中重要的逐次逼近方法。 例：求方程 x3-x-1=0 首先将原方程改写成等价形式 虽然迭代法的基本思想很简单，但效果并不总是令人满意的。对于上例，若按方程写成另一种等价形式 x=x3-1 建立迭代公式 ? xk+1=x3k-1, k=0,1,2,… 仍取初始值x0=1.5, 则迭代结果为 x1=2.375 x2=12.3976 几何意义: 由已知条件知，x*为方程x=g(x)的根，即x*=g(x*) 考虑迭代公式 x k+1=g(xk) , k=0,1,2,… 由李普希茨条件 ②要验证g(x)是否满足李氏条件一般比较困难，若g(x)可微，可用条件 来判断迭代公式是否收敛。 例 求方程 x=e-x