计算方法-方程求根a解析.ppt

* 第六章　非线性方程求根 /* Solutions of Nonlinear Equations */ 6.1 概述 求 f (x) = 0 的根 设f(x)为实变量x的非线性函数，则 　　　　1. 如果有x*使f(x*)=0，则称x*为方程f(x)=0的根，或称之为函数f(x)的零点。 定义 2. 当f(x)为多项式时, 即方程为f(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a0=0, 称为n次代数方程. 当f(x)包含指数函数或三角函数等特殊函数时,称为超越方程. 3. 如果f(x)可分为 f(x)=(x- x*)mg(x) (g(x*)≠0), 则称x*为方程的m重根. 当m=1时称x*为方程的单根. 对于代数方程的求根问题，早在16世纪就找到了三次、四次代数方程的通用求根公式。 更高次代数方程的通用求根公式…? 别忙乎啦！我的论文证明了如下定理：五次以及更高次数的代数方程没有一般的代数解法__阿贝尔 6.1 Introduction 根据上述定理知, 在区间[xi, xi +h]内必有方程f(x)=0的实根 　　　　设f(x)于[a, b]上连续，若f(a) f(b)0, 则存在着x*∈(a, b)使f(x*)=0, 即f(x)于(a, b)内存在实的零点。 1. 根的分离. 找出有根的区间, 使得在一些较小的区间只有一个根, 这样可获得方程各个根的近似值. 通常采用有哪些信誉好的足球投注网站的方法, 确定根的范围. 从某点x0出发, 选取步长h, 让xi= x0+ih, i=0,1,…,N, 如果有 定理 2. 近似根的精确化. 用求根的数值方法, 使得近似根精确化, 直到满足计算精度的要求. ? 数值求根方法的基本思路 6.1 Introdution x1 x2 a2 b3 When to stop? 或 不能保证 x 的精度 x* ?2 x x* a=a1 b=b1 b2 a3 6.2 二分法 /* Bisection Method */ 6.2 Bisection Method 误差 分析： 第1步产生的 有误差 第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度 ? ,可估计二分法所需的步数 k ： ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢 请同学们自行设计计算程序。 6.3 迭代法 /* Fixed-Point Iteration */ f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 So basically we are done! I can’t believe it’s so simple! What’s the problem? Oh yeah? Who tells you that the method is convergent? 迭代函数 6.3 Fixed-Point Iteration ! ? 收敛问题 /* convergence */ 例 用迭代法求解方程 x3-x-1=0 在[1, 2]中的根。(x*=1.32472…) 解1 作等价方程： 构造迭代方程: 取初始点x0=1进行迭代计算, 有 … 1.32472 1.32472 1.32471 1.32470 xk … 9 8 7 6 k 1.32463 1.32427 1.32235 1.31229 1.25992 1 xk 5 4 3 2 1 0 k 解2 迭代方程： －∞ … -2 -1 0 1 xk ∞ … 4 3 1 0 k ∞ … -2 12.3965 2.375 1.5 xk ∞ … 4 3 1 0 k 取初始点x0=1 换初始点x0=1.5 ! x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 6.3 Fixed-Point Iteration 考虑方程 x = g(x), g(x)?C[a, b], 若 ( 1 ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( 2 ) ? 0 ? L 1 使得 | g’(x) |