计算方法-2-插值法解析.ppt

* * 如果令 那么上两式可写成矩阵形式 矩阵1 * * 对第二种边界条件，直接得端点方程 如果令 ，则第二种边界条件 也可以写成矩阵形式 对于第三种边界条件，可得 其中 第三种边界条件也可以写成以下的矩阵形式 * * 矩阵2 矩阵1和矩阵2是关于 的对角占优三对角方程组， 称为 的矩。 矩阵1和矩阵2的系数矩阵中元素 因此系数 矩阵为严格对角占优阵，从而矩阵1和矩阵2有唯一解。 * * 2.7.3 误差界与收敛性 定理4 设 为满足第一种或第二种边界条件的 三次样条函数，令 则有估计式 其中 * * 这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差估计，且当 时， 及其一阶导数 和二阶导数 均 分别一致收敛于 ， 及 。 * * 思考 P60 21 本章作业 * * * * P60 15、16 本章作业 * * 2.6 分段插值法 * * 例2. 解: 2.6.1 高次插值的病态性质 * * 不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图 Runge现象 * * 结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象. * * 2.6.2 分段线性插值 一、 分段线性插值的构造 * * 也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差，在节 点处有尖点。但如果增加 节点的数量。减小步长,会 改善插值效果 因此 则 * * * * x * * 分段线性插值的误差估计可利用插值余项得到 或 二、 分段线性插值的误差估计 其中 * * 2.6.3 分段三次埃尔米特插值 * * * * * * * * * * * * * * * * * * P59 18、19 本章作业 * * 2.7 三次样条插值 * * 2.7 三次样条插值 什么是样条: 是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具. 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 * * 2.7.1 三次样条插值 * * * * * * * * 2.7.2 样条插值函数的建立 三对角方程组 * * 表达 ，由于 在区间 上是线性函数，可表示为 对 积分两次并利用 可定出积分常数， 于是得三次样条表达式 * * 为了确定 对 求导得 * * 由此求得 类似地可求出 利用 可得 * * 其中 对第一种边界条件，可导出两个方程 * * 差分表 * * 二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系 * * 依此类推 * * 2.4.2 等距节点插值公式 一、牛顿前插公式 * * * * 二、牛顿向后(差分)插值公式 * * * * 牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点. 三、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比 * * 2.5 埃尔米特插值法 * * 2.5 埃尔米特插值法 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 解： 1 ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * 根据罗尔定理, 再由罗尔定理, 依此类推 由于 * * 所以 因此 * * 则 注意（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时 才能应用。 （2） 在 内的具体位置通常不可能给出， 所以，设 * * 例1: 解: * * * * 例2. 并作图比较. 解: * * 不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图 Runge现象 * * 结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象. P44 1、2 本章作业 1、给定正弦函数表如下，试用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估计误差。 0.64422 0.56464 0.47934 0.7 0.6 0.5 2、已知函数表 1.790 1.593 1.395 1.191 y=f(x) 1.20 1.17 1.15 1.13 x 应用拉格朗日插值公式计算f(1.16) * * 2.3 均差与牛顿插值公式 * * 2.3.1 均差及其性质 我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂,计算量很大,并且重复计