波函数的与波动方程.doc

第二章 波函数与波动方程 第二章 目 录 §2.1 波－粒两象性 3 §2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年）几率诠释—几率波 4 §2.3 波函数的性质，态叠加原理 5 （1）波函数的性质 5 （2）位置和位能的平均值 8 （3）动量平均值 9 （4）态叠加原理 12 §2.4含时间的薛定谔方程（Schrodinger’s equation） 15 (1) Schrodinger’s equation的建立 15 (2) 对Schrodinger equation的讨论 17 §2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 23 (1) 不含时间的薛定谔方程 23 （2） 定态 24 §2.6 测不准关系 25 （1）一些例子 25 （2）一些实验 27 （3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 28 （4）能量－时间测不准关系 28 （5）一些应用举例 29 第二章 波函数与波动方程 既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现： a. 波－粒两象性 （粒子） （波） （Planck假设）Einstein关系 （，） （de Broglie假设） de Broglie关系 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述 b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值 氢原子的能量 由于平常粒子的波长?，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子?，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。 将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因 经典粒子 经典波 √原子性（整体性） 实在物理量的空间分布 轨道 √干涉，衍射 这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。 §2.1 波－粒两象性 想像一个实验事实： a．每次接收到的是一个电子，即电子确是以一个整体出现； b．电子数的强度，但，； c．电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。 因此，我们可得到下面的结论： a. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象）； b. 不能想像，电子通过时，能像经典电子（有轨道）那样来描述（因）； c. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布。如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是。）。 但是，这种干涉现象在经典中也有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度分布为 ，， 。 我们是如何解释这干 涉现象呢？ 通过缝时， 水波以 描述 通过缝时，水波以描述 通过，时， 则以 描述 强度 ， （，，） 即为干涉项。 电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用函数来描述（它们一般应是复函数） ， （） 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方来表征。 空间若有两个波，强度则应由波函数的模的平方来描述。但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现。 §2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年）几率诠释—几率波 真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是1926年被Max Born提出的。 如电子用一波函数来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在—范围内，接收到电子多少是与的大小有关； ② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为。这表明，电子出现在接收器上的各个位置是具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到