辅助函数在数学中的运用.docx

辅助函数在数学中的运用姓名:彭莉蓉班级:2015级数学与应用数学(3)班学号:2015041001174一、绪论 在初等几何的学习中,经常使用作辅助线的方法,使所讨论得问题迎刃而解.同样,在高等数学的学习与研究中也通常通过“构造”辅助函数,以达到解决问题的方法.辅助函数,是人们在教学研究与教学活动中,为了便于解决所探讨的问题,将已掌握的函数经过有限次的四则运算既复合,构建一个新的函数关系,在所学知识体架里更为方便的解决问题.本文主要内容是关于一些定理的证明,比如泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明.在这里只研究运用辅助函数的方法证明.下面就辅助函数的构造举例来说明.二.辅助函数在定理中的运用(一).构造辅助函数证明泰勒公式 泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日余项型）.?定理1?若函数?(x)在开区(a,b)有直到n+1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x+x0)的多项式和一个余项的和,即分析:我们知道 那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理,得到 来近似表示函数?(x),并且写出误差 现开始证明, 证明: 显然, 至此,这个多项式的各项系数都已求出,得从而求出误差的具体表达式.设,则故得出 由柯西中值定理可得(二)构建辅助函数证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,也是柯西中值定理的特殊情况.对于其证明方法多种,这里就用辅助函数证明.定理2 设函数在则在内至少有一点,使得 分析 从结论可以看出,可将视为变量x,则有一阶微分方程 其通解为 则有 下面开始证明,证明 作辅助函数 有 则满足罗尔定理的三个条件,故在内至少有一点,使得 所以 则拉格朗日中值定理证毕.三.辅助函数在解题中的运用 (一).构造辅助函数证明恒等式恒等式是很常见的一种题型,对于这种题型的证明,有时便可以采取与用辅助函数的方法,通过变换形式创建中值定理的条件,利用中值定理证明.例1 设函数在上连续在内可导,证明在内至少存在一点,使得 分析 令 则 形如的一阶导数,故取证明 令则函数在上连续在内可导,又因为 所以在上满足罗尔定理,那么存在一点,使得即 即 则利用辅助函数利用罗尔定理证得命题成立.例2 证明 分析 由于则令证明 对于任意x大于0,函数满足定义域内连续可导,满足拉格朗日中值定理在上,至少存在一点,使得 又因为 则有 证毕例3 设在上连续,在内可导,且,求证存在一点,使得证明 构造辅助函数,显然 又因为设在上连续,在内可导,故根据罗尔定理可知,存在一点,使得,即 即 则,证毕.例4方程,证明方程至少有一个正根不超过a+b分析 该题可以构造函数,在[a,b]连续,若能得出异号,则存在一使得,那么就是方程的根且不超过a+b,即运用介值定理.证明 设有, 0 ,若时,即，则方程有一个正根为a+b，而，若，及sin（a+b)1,则有满足介值定理条件，则存在一点，使得.那么就是方程的根,综上所述,方程至少有一个正根不超过,证毕.再求类似于以上问题时,往往可以通过辅助函数形式转化为中值定理(包括柯西中值定理.拉格朗日中值定理.罗尔定理)问题,所作辅助函数在满足其中一个中值定理的条件时,则可通过中值定理的性质解决问题.(二).辅助函数在极限中的运用例5 求.分析 有简单函数极限得,可令=t,则有 即 原式等于例6 求解 作辅助函数故上述两题属于常见极限问题,虽然极限求法多种多样,但一些极限运用辅助函数更为方便,其中一些复杂极限往往与一些简单基本的极限有极大联系.通过观察复杂极限的组成和构造,尽可能往简单基本极限的模型的方向构造,往往能事半功倍.总结在本文中,举了部分鲜明的例子说明辅助函数在数学中的运用,并简单说明其构造方法.如:常见的k值法构建辅助函数是将所有的结论进行变形,分离常数部分并使得常数部分设为k,在进行恒等变形,使其一端成为a与f(a),另一端为b与f(b),再将ab换成x,这样便可得出其辅助函数.如例1还有一种常见的方法,即微分法构建辅助函数,通过石子与式子之间的关系构建辅助函数,如例2.作差构建辅助函数,通常运用在不等式或等式判定和证明,把不等式右边的式子移到左边作差,所得到的式子极为辅助函数,即若则辅助函数为,然后只需判定和证明在定义域内是否成立.如例4.其实远远不止这些方法可以用于构建辅助函数,关键在于善于创新,勇于探究.由此也可以看出辅助函数在很多数学问题中起着尤为重要的桥梁作用,它可以使复杂的问题简单化,零乱的思路逻辑化,其所涉及的领域尤其之广泛,需要我们不断学习和探究.参考文献: 欧阳光中.朱学言.金福临.陈传璋?数