热传导的方程(扩散方程).ppt

3 拉普拉斯方程 §1.3 定解问题的提法 例2.1 设 在直线R上具有二阶连续导数， ，验证 在 平面上都是 的古典解. 解 直接计算可得 代 ， 到方程中即得结论成立. 类似可证 也是方程的古典解. (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程 3、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； 判断下列方程的类型 思考 一般二阶线性偏微分方程（n个自变量） 两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 线性方程的叠加原理 称形如 的符号为微分算子。 * * 从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程 根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件 提出相应的定解问题 第一章 数学建模和基本原理介绍 §1.1 数学模型的建立 数学模型建立的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。 2 热传导动方程 第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出： 给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻 的温度为 。 模型： 问题： 研究温度 的运动规律。 分析：（两个物理定律和一个公式） 1、热量守恒定律: 2、傅里叶（Fourier）热传导定律: 温度变化吸收的热量 通过边界流入的热量 热源放出的热量 为热传导系数。 3、热量公式: 任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 热传导方程的推导： 热量守恒定律 区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量 下面分别计算这些热量 （1） 内温度变化所需要的能量 那么包含点 的体积微元 的温度从 变为 所需要的热量为 设物体 的比热（单位质量的物体温度改变 所需要的热量为 密度为 整个 内温度变化所需要的能量 （2）通过曲面 进入 内的热量 由傅里叶热传导定律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为 由高斯公式 知 （3）热源提供的热量 用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热源所提供的热量为 由热量守恒定律得： 由 及 的任意性知 三维无热源热传导方程： 三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体） 其中 称为非齐次项（自由项）。 通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。 二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件： 边界条件： 1、第一边界条件 （ Dirichlet 边界条件） 特别地： 时，物体表面保持恒温。 2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件） 特别地： 时，表示物体绝热。 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 ) 其中： 表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方