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第六章 弯曲变形分析 梁是机械与工程结构中最常见的构件。本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。 6.1 梁的内力 ● 梁的概念 当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。 在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。本章只讨论梁的对称弯曲。 图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。这三种梁都是静定梁。 作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶(图6–5(a))、分布载荷(图6–5(b))和集中力(图6–5(c))。在实际问题中，为常数的均布载荷较为常见。 ● 梁的剪力与弯矩 在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。 例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷，在点处受矩为的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。 解：设固定端的约束力和约束力偶为和，则由平衡方程 ， ， 以杆件左端为坐标原点，以为分界面，将梁分为和两段。对段中的截面，剪力方程和弯矩方程分别为 同样，可得到段中的剪力方程和弯矩方程 根据得到的剪力方程和弯矩方程，绘出相应的剪力图和弯矩图，如图6–6(b)和(c)。再次看到，在处作用有集中力偶，所以弯矩图在点有突变，突变值正好等于集中力偶值。 ● 剪力、弯矩和载荷集度的微分关系 现研究剪力、弯矩和分布载荷集度之间的微分关系。首先讨论梁上无集中载荷的情况。 如图6–7(a)所示梁，受分布载荷作用。规定轴水平向由，分布载荷向上为正。为研究剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，用坐标分别为与的横截面从梁中切取一段来进行分析，如图6–7(b)。 微段左右截面上的剪力和弯矩分别为、和、，它们和微段上的分布载荷一起组成平衡力系，竖直方向的平衡方程为 (6–1) 式(6–1)就是剪力和分布载荷之间的微分关系。对右截面形心取矩， 略去高阶无穷小后，得 (6–2) 式(6–2)是弯矩和剪力之间的微分关系。将式(6–1)带入式(6–2)，得到弯矩和分布载荷之间的微分关系 (6–3) 现讨论微段上作用有集中载荷的情况，如图6–8所示。容易证明，在集中力作用处，左右两侧的弯矩相同，而剪力则发生突变，其突变量等于(图6–8(a))，且弯矩图出现尖点；在集中力偶作用处，其左右两侧的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变量等于，(图6–8(b))。 利用剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可以对剪力图和弯矩图的形态作直观的判断。具体说； 1.、和的函数阶次依次升高一阶；的箭头“顶”在的凸出一侧； 2.在的截面上，取极值； 3.对只有集中载荷作用的梁，其剪力图和弯矩图一定是由分段直线构成的。 例6–2：外伸梁承受载荷如图6–9(a)所示，试作出梁的剪力图和弯矩图。 解：由平衡方程和，求得、处的约束力分别为 将整个梁分为、和三段。先讨论剪力图。段无外载荷，因此剪力为常值；和都受均布载荷作用，剪力图为斜直线，但因为处的集中约束力，因此剪力图发生突变。由截面法可计算出、、和处的剪力依次为 据此绘出剪力图6–9(b)。注意到在点和点剪力为零，此处弯矩取极值。 对弯矩图，依据剪力和弯矩微分关系，段弯矩图为斜直线，段和段为抛物线，其极值点分别为和。在点出弯矩图有突变。同样由截面法计算各关键截面处的弯矩图 由此绘出弯矩图6–9(c)。 6.2 弯曲时横截面上的正应力 在一般情况下，梁的横截面上存在着正应力和切应力。正应力向横截面形心简化将产生弯矩，而切应力的简化结果产生剪力，如图6–10。若梁内各横