第十二章 马尔可夫预测与决策法中.ppt

第十二章 马尔可夫预测与决策 第一节 基本概念 第二节 稳态概率矩阵 第三节 马尔可夫链预测法 第四节 马尔可夫链的应用 要求掌握以下内容： 1. 什么是马尔柯夫链 2. 计算部分：市场占有率预测和人力资源结构预测方法。 §12.1 基本概念 马尔柯夫（A.A Markov 是俄国数学家）。 20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。 例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。 所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔柯夫链。 马尔柯夫预测法 马尔柯夫（A.A Markov）预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。 分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、市场占有率预测和人力资源结构预测方法。 基本概念 一、状态 状态：客观事物可能出现或存在的状况。 如：市场上的产品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能有故障等。 同一事物的不同状态之间必须相互独立，即事物不能同时处在两种状态。 基本概念 用状态变量来表示状态： 它表示随机运动系统，在时刻 所处的状态为 状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。 如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。 基本概念 二、状态转移概率 客观事物可能有 共 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有 个转向（包括转向自身），即 。 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。 基本概念 二、状态转移概率 对于由状态 Ei 转移到状态Ej 的概率，称它为从 i 到 j 的转移概率。记为： 它表示由状态Ei 经过一步转移到状态Ej 的概率。 例12-1： 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 年 5 月份有 500 户是甲厂的顾客；400 户是乙厂的顾客；100 户是丙厂的顾客。6 月份，甲厂有400 户原来的顾客，上月的顾客有 50 户转乙厂，50 户转丙厂；乙厂有 300 户原来的顾客，上月的顾客有 20 户转甲厂，80 户转丙厂；丙厂有 80 户原来的顾客，上月的顾客有 10 户转甲厂，10 户转乙厂。试计算其状态转移概率。 解：由题意得 6 月份顾客转移表 1： 基本概念 三、状态转移概率矩阵 将事件 个状态的转移概率依次排列起来，就构成一个 N行×N 列的矩阵，这种矩阵就是状态转移概率矩阵。 通常，称矩阵 P 就是状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。 矩阵中的每一行称之为概率向量。 三、状态转移概率矩阵 状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） （2） 状态转移概率的估算 主观概率法。 （一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用的）。 统计估算法。 例12-2 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。 三、状态转移概率矩阵 状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义给出。 定义 3. 若系统在时刻 处于状态 ，经过 步转移，在时刻 处于状态 。那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 步转移概率。记为 并令 称 为 步转移概率矩阵。 多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质外，还具有以下的性质： 例12-3： 某经济系统有三种状态 （如畅销、一般、滞销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。 解：得到一步状态转移 例（续）： 二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算可得： 四、初始状态概率向量 记 为过程的开始时刻，则称：