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* * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第二章 n维空间中的点集 §1 聚点、内点、边界点 §3 x进位表数法 §4 一维开集、闭集、完备集的构造 §2 开集、闭集、完备集 §5 点集间的距离 本教程在Rn空间的框架下展开测度与积分的理论, 因此讨论Rn 空间中的一些常见的点集是极端重要的. 用Rn表示n 维欧式空间, 即 对任意 x = (x1, x2, … , xn)∈Rn , 令 称‖x‖为x的模、范数或长度。 设 是Rn中任意两点, 定义这两点间的距离为 显然，对于Rn中任意的点 恒有 给定 若 则称点列{xk}依距离收敛于x0，记为 命题 即点列收敛的充要条件是按坐标收敛。 1. 内点、外点、边界点 §1 聚点、内点、边界点 设有点集 E?Rn 及一点 x0∈Rn : ? 若存在点 x0的某邻域 N(x0)? E , ? 若存在点 x0 的某邻域 N(x0 )∩ E = ? , ? 若对点 x0的任一邻域 N(x0) 既含 E中的内点也含 E 则称 x0为 E 的内点； 则称 x0为 E 的外点 ; 则称 x0为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2. 聚点 若对任意给定的? 0, 点x0 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 x0 是 E 的聚点. E 的聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可 以为E 的边界点 ) E 的所有聚点所成的点集成为 E 的导集, 记为 。 称为E 的闭包 , 记为 , 即 E内的点若不是聚点则称其为孤立点。 E的孤立点就是集合 中的点。 (2) x0是E的聚点，就是说x0 的邻近聚集了E中的无数个点，用数学语言刻画，即是x0 的任一个邻域内含有E中无穷多点。定义中没讨论x0 与E的关系，E的聚点x0 可属于E也可不属于E。 (3) x0是E的孤立点，直观形象说在x0 的邻近只有 x0 “孤单一点属于E，没别的E中点”，故称x0 是E的孤立点。 注: (1) x0是E的内点，就是说x0 在E内部，因而它一定不在边界上。 例1. 点集 3. Bolzano-Weierstrass定理 聚点 证明： 显然。 因为对 开球 都含 有E的无穷多个点。所以对 取 取 对 定理1. 的充要条件是x0为E的一个极限点, 即有一串互异的点列{xk}?E使ρ(xk,x0)→0(k→∞)。 这样已取到互异点列x1, x2, … , xk-1，再取 由归纳法知点列x1, x2, … , xk , …互不相同，且 即 Q. E. D. 定理4. (波查诺-魏尔斯特拉斯聚点原理) Rn中的任意有界无限点集必有聚点。即若E是Rn中一有界无限点集，则 Q. E. D.