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概率论与数理统计 第一章 概率论基础知识 §1.1 样本空间与随机事件 例1.13蒲丰问题 1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。得数竟然是π的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。 例1.13蒲丰问题 零概率事件不一定不发生 在[0,1]区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少? 例1.19 §1.5 事件的独立性 §1.5.1 事件的独立性 例如:三个事件的独立 独立性在可靠理论中的应用 §1.5.2贝努利概型 例1.25 第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选； 例1.10 §1.3.2 几何概型 例1.11 随机在单位圆内掷一点M,求M点 到原点距离小于1/4的概率. 1 1/4 解： 几何概率的计算 A 作为一般的欧氏区域，m(A) 作为A的测度（一维是长度，2维是面 积等）就得到几何概率计算方法： 如果把 例1.12 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： ２４ ２ １ Y=x+1 Y=x-2 解： 平行线的距离a，针的长度l，求针与平行 线相交的概率。 怎样描述针与直线相交的情况？ X表示针的中点与最近的一条平行线的距离 例1.13蒲丰问题 取a=2L，投针N次，如果有k次与直线 相交，则Phi的近似值为N/k 0 1 0.5 P=点(0.5)的长度/[0,1]区间的长度=0 §1.4.1 条件概率 例1.14 一个家庭中有两个小孩,已知其中 一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多 少?(假定生男生女是等可能的) 解: 由题意,样本空间为: 设B={其中一个是女孩},A={两个女孩} 则 B={(M,F),(F,M),(F,F)},A={(F,F)} 因此,要求的是: P(A|B)=1/3 定义1.3 （P.16） 设A，B是两个事件，且 则称 为事件B发生的条件下事件A的条件概率。 易知,条件概率具有如下性质: 条件概率的性质 §1.4.2 乘法公式 例1.16 例1.16 §1.4.3 全概率与贝叶斯公式 例1.18 一在线计算机系统,有3条输入线, 其性质如下表: 通讯线 通讯量份额 无误差的讯息份额 1 2 3 0.4 0.35 0.25 0.9998 0.9999 0.9997 (1)求一随机选择的进入讯号无误差地被 接受的概率; 例1.18 (续) 解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受” Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3 由题意，问题转化为，已知： 例1.18 (续) A1 A2 A3 B 我们的做法是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，事件 B也被分割成3部分： 利用乘法 公式可得 例1.18 (续) 原问题简化为，已知： 例1.18 (续) (2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一 讯号最有可能来自哪条通讯线路? 解：由（1），已知P(B)=0.99981，想 （本质是一个条件概率） 定理1.1 全概率与Bayes公式 设Ai是样本空间的完备事件组,P(Ai)0,即 一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,求: (1)第2次取出两个新球的概率 (2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率. 解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本 空间的划分,Ai:第1次取出i个新球,i=0,1,2 例1.19(续) 第1步: P(A0)=?, P(A1)=?, P(A2)=? 第2步: P(B|A0)=?, P(B|A1)=?, P(B|A2)=? 第3步: 写公式: 第4步: 利用Bayes公式计算第2问; 例1.19 (续) 一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球, (1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2 同理 (2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai) 例1.19 (续) =0.2893 (2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率. =0.5333 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1