数学归纳法组.pptVIP

归纳的类型 ?不完全归纳法的结果是在仅仅观察、分析了某类事物的部分对象之后，对该类事物的属性所提出的猜想。故具有一定的局限性，得出的结论不一定正确，如费马猜想。 ?相对于不完全归纳法，完全归纳法考察了某类事物的全体对象，得出的结论可靠，具有确定性。因此完全归纳法可以作为一种严格的论证方法。 数学归纳法发源于自然数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法。她主要用来研究与正整数有关的数学问题。 数学归纳法分类 第一数学归纳法 第二数学归纳法 倒推归纳法（反向归纳法） 螺旋式归纳法 数学归纳法的变体 在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从 0 以外的自然数开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字?b?的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 第一步，证明当?n?=?b?时命题成立。 第二步，证明如果?n?=?m?(m?≥?b) 成立，那么可以推导出?n?=?m+1 也成立。 用这个方法可以证明诸如“当?n?≥ 3 时， 2n”这一类命题。 只针对偶数或只针对奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 第一步，证明当?n?=?1?时命题成立。 第二步，证明如果?n?=?m?成立，那么可以推导出?n?=?m+2 也成立。 偶数方面： 第一步，证明当?n?=?0或2?时命题成立。 第二步，证明如果?n?=?m?成立，那么可以推导出?n?=?m+2 也成立。 递降归纳法 又名（递归归纳法） 数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n =0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。 跳跃归纳法 设P(n)表示一个与自然数有关的命题， （1）若P（1），P(2)……P(n)成立 （2）假设P（k）成立，可以推出P（k+1）成立。 则P(n)对一切自然数n都成立。 * * 数学归纳法 7组：杨利芳 姚倩 郝小莹 赵霞 侯国翠 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？ 多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 （1）第一块骨牌倒下；（基础） 归纳法： 通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。 归纳法的本质特征： 从已知到未知，从特殊到一般，从个性到共性，从经验事实到事物内在规律的飞跃过程。 费尔马 (费马猜想) 结论是错误的。 证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下： 这种证明方法叫做数学归纳法 (1)证明当n取第一个值n0 时命题成立 完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立 (2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立 （基础） （依据） 4.两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立； 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉. 两个步骤一结论； 递推基础不可少； 归纳假设要用到； 结论写明莫忘掉。 直 挂 云 帆 济 沧 海 长 风 破 浪 会 有 时 思考：数学归纳法有什么优点和缺点？ 优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。 缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的