平面及空间两直线的位置关系.pptVIP

* 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点.这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3：经过 的三点，有且只有一个平面. 基础知识 自主学习 要点梳理 §9.2 平面及空间两直线的位置关系 两点 不在同一条直线上 2.直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 异面直线：不同在 一个平面内 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 叫做异面直线a,b所成的角. ②范围： . 共面直线 平行 相交 任何 锐角 或直角 3.直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.平行公理 公理4：平行于 的两条直线互相平行. 6.定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 ，那么这两个角相等. 平行 相交 在平 面内 平行 相交 同一条直线 方向相同 1.(2010·无锡模拟)对于平面α和直线l，α内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）. 2.空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有 个. 解析 四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面. 基础自测 垂直 1或4 3.有以下四个命题，其中正确的命题的个数是 . ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则 A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 解析 只有①正确. 1 4.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）= ;f（n）= .（答案用数字或n的解析式表示） 解析 n棱锥有n+1个顶点，故可确定 条直线.四棱锥中每一 条侧棱都和底面上两棱成异面直线， 故f（4）=4×2=8，n棱锥中每一条侧 棱都和底面上n-2条棱成异面直线， 故f（n）=n（n-2）. 8 n（n-2） 【例1】如图所示，空间四边形ABCD中， E、F、G分别在AB、BC、CD上， 且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1， CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平 面交AD于H，连结EH. （1）求AH∶HD； （2）求证：EH、FG、BD三线共点. 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理2得证. 典型例题 深度剖析 分析 （1）解 ∵ ∴EF∥AC. ∴EF∥面ACD. 而EF平面EFGH， 且面EFGH∩面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH. ∴ =3,即AH∶HD=3∶1. （2）证明 ∵EF∥GH,且 ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD， P∈FG，FG平面BCD，面ABD∩面BCD=BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 跟踪练习1 如图，E、F、G、H分别是 空间四边形AB、BC、CD、DA上的点， 且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线. 证明 ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD=BD， 即B、D、O三点共线. 【例2】如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1， B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由. （1）由于M、N分别是A1B1和B1C1中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法. 分析 解 （1）不是异面直线.理由： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点. ∴MN∥A1C1，又∵A1A D1D，而D1D C1C， ∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线. （2）是异面直线，证明如下： 假设D1B与CC1在