4圆的切线的性质及判定定理、弦切角.ppt

在图（１）中，根据圆内接四边形性质， 有∠BCE＝∠Ａ． 猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE =∠A. 例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD. 思路二: 连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2 * [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系 三. 圆的切线的性质及判定定理 圆与直线的位置关系: 相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点 切线的性质定理: O 切线的性质定理逆命题是否成立? M 推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 思考: 圆的切线垂直于经过切点的半径 A 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A O B 直线与圆只有一个公共点,是切线. 在直线上任取异于A的点B.连OB. 则在 Rt△ABO 中 OB OA = r 故B在圆外 例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线. 证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC = 90o ∴∠ODE = 90o 又∵D在圆周上, ∴DE是⊙O是切线.. A O B D C E 例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. A B O C D 习题2.3 1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D. A B O C D 求证:AC与⊙O相切. E 2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB, P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过 Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,. 求证:RP = RQ B O P A R Q ∠AQP= ∠APQ 3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线. A O B C D 1 3 2 4 △COD与△ COB全等 在图（２）中，ＤＥ是切线时， ∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｅ （１） （２） Ａ Ｂ Ｅ Ｄ （Ｃ） O Ａ Ｂ Ｅ C O Ａ Ｂ Ｅ C O Ａ Ｂ Ｅ C (1)圆心O在△ABC的边BC上 证明: 即△ABC为直角三角形 A B O C E ∵CE为切线， ∴ ∠BCE＝90 ° 又∵∠A是半圆上的圆周角， ∴ ∠A＝90 ° ∴ ∠BCE＝∠A (2)圆心O在△ABC的内部作⊙O的直径CP,那么 O Ａ Ｂ Ｅ C P ∠PCE= ∠PAC= 90 ° ∵∠BCE = ∠PCE-∠PCB = 90°-∠PCB. ∠BAC = ∠PAC-∠PAB = 90°-∠PAB. 而∠PAB = ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC (3)圆心O在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么 O Ａ Ｂ Ｅ C P ∠PCE= ∠PAC= 90 ° ∵∠BCE = ∠PCE+∠PCB = 90°+∠PCB. ∠BAC = ∠PAC+∠PAB = 90°+∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC 综上所述， 猜想成立。 A A A A A B B B B B C C C C C 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ × × × × √ 1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。 几何语言: BA切⊙O于A AC是圆O的弦 Ａ Ｂ Ｃ Ｏ 2.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 D ∠BAC= ∠ADC m O A B C D E 1 2 思路一: O A B C D E 3 1 2 * [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系