线性代数居余马二次型.pptVIP

第6章 二次型 6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵 6.2 化二次型为标准形 6.2.1 正交变换法 *6.3 惯性定理和二次型的规范形 6.4 正定二次型和正定矩阵 *6.5 其他有定二次型 若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 两个n阶实对称矩阵A和B合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等，或正惯性指数与秩分别相等； 全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1， ?1, 0 的排列次序）可以划分为(n +1)(n +2)/2 类。因为秩r=0时，有1类； r =1时，有2类； r =2时，有3类; ?， r=n时，有 n+1类。共有1+2+3+ ?+(n+1)类。 在多元微积分中我们知道二元函数 在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0） 的邻域内是否恒正(负)。一般n元二次型是否恒正(负)的 问题，就是二次型的正定问题。 定义6.4 如果n元实二次型 f(x1,x2,?,xn)=xTAx， ?x= (x1,x2,?,xn )?0 (x?Rn)，恒有 xTAx 0， 就称 xTAx 为 正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。 (1) n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,?,xn)= d1x12+d2x22+?+dnxn2 正定的充分必要条件是 di0 (i=1,2,?, n)。 充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在 di?0，取 xi=1, xj=0 (j?i)，便有 f (0,?,0,1,0,?,0)= di?0。 这与二次型正定相矛盾。 由定义可得： (2) 对二次型 f= xTAx 做坐标变换x=Cy（C为可逆矩阵）， 化为 f = yT(CTAC) y，其正定性不变。这是因为： ? y0?0，相应的 x0=Cy0?0（否则 x0=0，则 y0=C?1x0 =0 )， 于是由 f=xTAx 的正定性，即得 f =y0T(CTAC) y0=x0TAx00， 即 y0T(CTAC) y0 正定，反之亦然。 所以，对二次型做坐标变换化为 d1x12+d2x22+?+dnxn2 ， 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,?,dn )时，由 di 0 （i=1,2, ?,n）即可判别A为正定矩阵。 定理6.4 对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价： (1) xT A x 是正定二次型（或A是正定矩阵）； (2) A的正惯性指数为n ，即A ? I； (3) 存在可逆矩阵P，使得A =PTP； (4) A的n个特征值?1,? 2,?,?n都大于零。 证 (1)?(2) 即对正定二次型xTAx 做坐标变换所化成的相 合规范形必为 xTAx ==y12+y22+?+yn2，即 p=n 且 A ? I。 (2)?(3) 存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(C T)?1 C ?1, 令P= C ?1，则 P T=(C T)?1, 于是, A= P T P 。 (3)?(4) 设Ax =?x (x ?0),得 (PT PA) x = ?x ,从而有 xT PTPx = ?xTx , 即 (Px , Px )= ?(x , x ) 由P是可逆矩阵和 x ?0, 得 Px ?0，特征值 (4)?(1) 对于n元实二次型 xTAx ，存在正交变换 x =Q y 使得xTAx =?1y12+ ?2y22+?+ ?nyn2。 由?1,?,?n 都大于零，即得 xTAx 是正定二次型。 (3) 存在可逆矩阵P，使得A = PT P ； (4) A的n个特征值?1,? 2,?,?n都大于零。 例１ 证明：若A是正定矩阵，则A?1也是正定矩阵。 证 正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以， A可逆，且 (A?1)T=(AT)? 1= A?1，即A?1 也是实对称矩阵。证A?1正定: 方法１：用定义。对二次型 xT A?1x 做坐标变换 x = A y ，得 xT A?1x = yT AT A?1 Ay = yT A y 由 yT A y正定，可知 xTA?