数学归纳法课件人教A选修.pptVIP

法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立． 由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝ －2an＋10bn成立． 点击下图片进入: * * * * [读教材·填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 时命题成立； (2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法． n＝n0 n＝k ＋1 n＝k(k∈N＋，且k≥n0) 2．数学归纳法的基本过程 [小问题·大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1开始取值． 2．数学归纳法的适用范围是什么？ 提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． 3．数学归纳法中的两步的作用是什么？ 提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立． [研一题] [精讲详析]　本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并． [悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点． (2)应用数学归纳法时的常见问题 ①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. ②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障． ③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范． [通一类] 1．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋ 1)(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴当n＝1时，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2 ＝－k·(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立． [例2]　求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [精讲详析]　本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时， x2k－y2k能被x＋y整除， 当n＝k＋1时， 即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k ＝x2(x2k－