5-2刚体功、能.ppt

University physics z ? O 设系统包括有 N 个质量元 ,其动能为 各质量元速度不同， 但角速度相同 刚体的总动能 P ? 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 取 刚体绕定轴转动的功能关系 刚体绕定轴转动的转动动能 University physics ? O 功的定义 力矩作功的微分形式 对一有限过程 若 M = C ( 积分形式 ） 力的累积过程——力矩的空间累积效应 ? ? . P 力矩的功 ? 力矩功 ? 讨论： ? 合力矩的功 ? 力矩的功就是力的功。 ? 内力矩作功之和为零。 University physics University physics 刚体绕定轴转动的动能定理 —— 力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 讨论： 当 力矩作正功 A 0 当 力矩作负功 A 0 例：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解： 由动能定理 求：它由此下摆 ? 角时的 ? 此题也可用机械能守恒定律方便求解 O l m ? C x University physics 刚体的机械能 一、转动动能 二、刚体重力势能 × C yc yi mi Δ Ep=0 —— 各质元重力势能之和 取任意质元 质心 University physics 三、刚体的机械能 四、定轴转动的功能原理 University physics （系统的机械能守恒定律） 对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。 当 A外 + A非保内 = 0 时，有 University physics 例1：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置 解： 求：它由此下摆 ? 角时的 ? 用机械能守恒定律方便求解 O l m ? C x 例一个质量为M，半径为 R 的均匀球壳可绕一光滑竖直中轴转动。一根不变形的轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为 m 的物体，如图所示。求当物体静止下落 h 时，其速度多大？ 分析：分别以球壳、圆盘和物体为研究对象分析受力情况，根据转动定律和牛顿定律列出方程。同时考虑约束关系，即球壳与圆盘的线加速度与物体加速度相等。联立解得物体下落 h 时的速度。另外本题也可应用机械能守恒定律求解。 M m m r R a T1 T1’ T2 T2’ mg 解：方法1 设 T1 为绳子对球壳的水平拉力， 为球壳的角加速度。则对球壳 M 用转动定律： 圆盘受水平拉力 与竖直拉力 T2，以 表示圆盘的角加速度。则对圆盘 m 用转动定律： M m m r R a T1 T1’ T2 T2’ mg 联立以上5个方程可求得a， 再利用公式 可得： 物体受绳子拉力 与重力 mg，设其加速度为 a，则根据牛顿第二定律有： 由于绳子在球壳表面和圆盘边缘上不打滑，所以： M m m r R a T1 T1’ T2 T2’ mg 方法2 对球壳、圆盘、物体和地球组成的系统而言只有保守力 mg 做功，所以机械能守恒，现选 m 初始高度为势能零点，则有： 上式中ω1 与ω2 分别表示球壳与圆盘在物体下落 h 时的角速度，v 为其时 m 的速度。它们满足关系： 末态： 初态： Ek1 = 0 令： Ep1 = 0 解：以杆和地球作为研究对象。由于系统只有重力做功，故机械能守恒： A B C O (1) 机械能守恒 例 如图所示，一质量为 m 长 l 的均匀直杆可绕一水平光滑轴O转动，且该轴与杆的一端之间的距离为 l / 4 。现将杆抬至水平静止后让其运动，求：当杆摆至与水平成 角时，杆的角速度 由(1)、(2) 得： 由平行轴定理： A B C O (2) (1) * 由以上计算可以很明显的看出第二种解法较简便，这又一次显示出应用守恒定律的优越性。 * 由以上计算可以很明显的看出第二种解法较简便，这又一次显示出应用守恒定律的优越性。