高等数学微积分课件定积分计算方法.pptVIP

§6.3定积分的计算方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 既然计算定积分这种特殊类型的和式极限,可以通过计算被积函数的原函数的值来完成,所以计算定积分的过程就与计算不定积分基本类似，不定积分的一些计算方法都将在定积分计算中得到体现，并针对定积分的要求做些修正，更方便于使用。 定积分的换元法 定积分换元法：设函数f(x)在区间[a,b]上连续,而x=?(t)满足下列条件： ⑴ x=?(t)在区间[?,?]上单调且有连续导数； ⑵ ?(?)=a,?(?)=b，且当t在区间[?,?]上变化时, x=?(t)的值在[a,b]上变化，则有换元公式 换元法证明 证： 换元法注意点 1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是连续的； 2：变换函数在变换后的区间内是单调的； 3：变换后，积分上限、下限要发生变化。 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 *例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 ★例：设f(x)在[-a,a]上连续,则 奇函数在对称区间上的积分 若f(x)是对称区间[-a , a]上的奇函数(如右图) 由于奇函数关于原点对称,结合定积分的几何意义，可以得出 偶函数在对称区间上的积分 若f(x)是对称区间[-a , a]上的偶函数(如右图) 由于偶函数关于y 轴对称,结合定积分的几何意义，可以得出 例题与讲解 例：利用对称性，计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 *例：计算 例题与讲解 例：若f(x)在[0,1]上连续,试证明： 续上页 移项,整理得 定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)以下简记为u、v在[a,b]上有连续的导数,则有 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解 例：计算 例题与讲解(换元法结合分部积分法) 例：计算 例题与讲解 小结 定积分的换元法 练习 练习 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 x=asint y=acost 2t=u x=1-t dx=-dt [返回习题] * 浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一) 微积分 口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要换限) 解： 解 解 原式 解： 令 原式 注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！ 由奇偶函数的对称性以及定积分的几何意义也可说明结论正确 证 y x O y = f (x) -a a A A y = f (x) y x O -a a A A 解：由于sinx在[-?, ?]上为奇函数,故 因为 为奇函数， 解： 为偶函数， 因此： 解：设 解 注意：此例用的是第一换元法，原积分变量 并未消失，因此, 这种情形的换元，积分上、下限不变。 *例：计算 解 并由此计算 证 即把先积出来的那一部分代上、下限求值,余下的部分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上、下限简便一些。 推导 解 令 则 解 解 解　 解　 分别用定积分的分部积分法求右端两个积分． 于是 解 设 对称性的应用、几个特殊积分等式 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分公式的区别） [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] [返回习题] [返回习题]