第四章数值积分modifiedbyWQ.pptVIP

Newton-Cotes公式 柯特斯系数 n xk(n) Ak(n) Rn 1 0 2 ±0.5773503 1 3 ± 0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 ± 0.8611363 0.3478548 ± 0.3399810 0.6521452 5 ± 0.9061799 0.2369269 ± 0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 §6 数值微分 二、插值型的求导公式 由复化辛卜生公式(4.6)可得如下计算公式 （积分准确值I=0.9460831） 这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。 例4.14 用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过 解:取 ,则 ,又区间长度b-a=1，对 复化梯形公式有余项 即 ,n≥212.85，取n=213，即将区间 [0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差 不超过 。 问区间[0,1]应分多少等份 4.3.3 误差的事后估计与步长的自动选择 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。 变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。 设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh, k=0,1,…，n，步长 。对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分近似值有 对整个区间[a,b]有 将子区间 再二等份,取其中点 作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值 。 对整个区间[a,b]有 比较 和 有 (4.7) (4.7)式称为变步长梯形公式 当把积分区间分成n等份，用复化梯形 公式计算积分I的近似值 时，截断误差为 若把区间再分半为2n等份，计算出定积分 的近似值 ，则截断误差为 当 在区间[a,b]上变化不大时,有 所以 可见,当步长二分后误差将减至 ,将 上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I。 4.3.4 变步长的梯形求积算法实现 （1）变步长的梯形求积法的计算步骤 ① 变步长梯形求积法。它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值 其中Tn和T2n分别代表二等分前后的积分值 ② 如果 , (ε为给定的误差限 ) 则T2n作为积分的近似值, 否则继续进行二等分, 即 转 ①再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值T2n 作为所求的结果 （2）变步长梯形公式的流程图 例4.15 用变步长梯形求积法计算定积分 解: 先对整个区间?0,1?用梯形公式,对于 所以有 然后将区间二等份,由于 ,故有 进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值 有 这样不断二分下去，计算结果如P110列表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。