第六章第七节数学归纳法理.pptVIP

【解】　(1)由x1＝ 及xn＋1＝ 得x2＝ ，x4＝ ，x6＝ . 由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列.┄┄┄2分 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，已证命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ②假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2， 易知xk＞0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝ ＝ ＝ ＞0，┄┄ 5分 即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2. 也就是说，当n＝k＋1时命题也成立. 结合①和②知，命题成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 (2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝ ，结论成立； 当n≥2时，易知0＜xn－1＜1， ∴1＋xn－1＜2，xn＝ ＞ ， ∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋ )(1＋xn－1) ＝2＋xn－1 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴|xn＋1－xn|＝| | ＝ |xn－xn－1|( )2|xn－1－xn－2|… ( )n－1|x2－x1|＝ ( )n－1.┄┄┄┄┄┄┄11分 综上：n∈N+时，|xn＋1－xn|≤· ( )n－1.┄┄12分 [自主体验] 已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ (n∈N＋)且点P1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P1，P2的直线的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于n∈N＋，点Pn都在(1)中的直线l上． 解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1. b2＝ ，a2＝1× ＝ ， ∴P2( )， ∴直线l的方程为 ，即2x＋y＝1. (2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立， 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝ ·(2ak＋1) ＝ ＝1， ∴当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，对n∈N＋，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上． 1.如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立.若p(n) 对n＝2也成立，则下列结论正确的是 (　　) A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立. 答案：B 2.设f(n)＝ ，n∈N+，那么f(n＋1) －f(n)＝ (　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式. 答案：D 3.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是 (　　) A.6＋6·7k B.2＋7k－1 C.2(2＋7k＋1) D.3(2＋7k) 解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题. (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除. (2)假设当k＝n(n∈N+)时，命题成立，即3(2＋7n) 能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 这就是说，k＝n＋1时命题也成