第七节数学归纳法理.pptVIP

[归纳领悟] 解“归纳—猜想—证明”题的关键环节： (1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础． (2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论． (3)用数学归纳法证明之． 一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中高档． 预计2012年高考可能会以数列、有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力． 点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测” * 1. 了解数学归纳法的原理． ?2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 数学归纳法[理] [理 要 点] 一、数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤： 1．(归纳奠基)证明当n取 时命题成立； 2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． n＝k＋1 第一个值n0(n0∈N+ ) 二、数学归纳法的框图表示 [究 疑 点] 1．第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值n0应该为3. 2．数学归纳法的两个步骤各有何作用？ 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者缺一不可．  解析：边数最小的凸多边形是三角形． 答案：C 答案：D [归纳领悟] 1．用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型， 其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． 2．由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分 利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 注意：第一，不要忘记归纳假设；第二，归纳假设 后，可利用分析法和综合法． [题组自测] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应 验证 (　　) A．n＝1　　　　　　　B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 答案：C 证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根， 所以a1＜a2. 把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an＜－1”，其余条件不变，求证：当n∈N＋时，an＋1＜an. [归纳领悟] 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． 注意：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等. 答案：C 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N+)． (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． *