线性代数之矩阵.pptVIP

普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 第2章 矩阵 第2章 矩阵 高斯消元法 矩阵的加法、数量乘法、乘法 矩阵的转置、对称矩阵 可逆矩阵的逆矩阵 矩阵的初等变换和初等矩阵 分块矩阵 2.1 高斯消元法 高斯消元法 消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步骤规范而又简便。 例1：解线性方程组 2.1 高斯消元法 高斯消元法 解： 1）将第1个方程乘1/2 2）将第1个方程乘-2,-3,-5，并分别加到第2,3,4个方程上 2.1 高斯消元法 高斯消元法 3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上 将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3，并交换第3,4个方程的位置 2.1 高斯消元法 高斯消元法 此方程组和原方程组是同解的，我们把形如这样的方程称为阶梯线性方程组，因此易得 2.1 高斯消元法 高斯消元法 任意一个线性方程组都可以用高斯消元法将其化为容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。所谓消元，就是将元的系数化为0。 为了使消元过程书写简便，我们可以把线性方程组 2.1 高斯消元法 高斯消元法 对应的系数按顺序排成一张矩形数表 其中aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)表示第i个方程第j个未知变量xj的系数。这样，高斯消元过程就可以在这张数表上进行操作，这张数表就称之为矩阵(matrix)。 2.1 高斯消元法 矩阵的定义 定义：数域F中的m×n个元素aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排列成m行n列，并括以圆括号（或方括弧）的数表 称为数域F中的m×n矩阵，通常用大写字母记做A或Am×n，有时也记做 2.1 高斯消元法 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复数域)时，A称为复矩阵。 m×n个元素全为0的矩阵称为零矩阵，记做0。 当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）。 数域F上的全体m×n矩阵组成的集合，记做Fm×n 或 M m×n(F)；全体n×n实矩阵（或n阶实矩阵）组成的集合，记做Rn×n 或M n(R)。 2.1 高斯消元法 矩阵的定义 线性方程组 对应的矩阵 称为增广矩阵，记为(A, b)。 2.1 高斯消元法 矩阵的定义 其中由未知元系数排列成的矩阵A 称为线性方程组的系数矩阵。 2.1 高斯消元法 矩阵举例 用消元法解线性方程组的消元步骤可以在增广矩阵上实现，下面举例说明 例2：求解线性方程组 2.1 高斯消元法 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为 将第1行分别乘以-2,-3,-1，并依次加到第2,3,4行上，消去后三个方程中的x1（此时也消去了x2 ），得 2.1 高斯消元法 矩阵举例 将第2行乘-2，分别加到第3,4行上，得 第4行乘-1/3，并和第3行交换，得 2.1 高斯消元法 矩阵举例 此阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的，为了在求解时省去回代的步骤，我们把每一行第一个非0元素所在的列的其余元素全化为0，即 称为行简化阶梯矩阵，它所对应的线性方程组 2.1 高斯消元法 矩阵举例 与原方程组同解，得 2.1 高斯消元法 矩阵举例 当线性方程组 的常数项b1=b2=...=bm=0时，我们称它为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。齐次线性方程组的解法与前面一样。 2.1 高斯消元法 矩阵举例 例3：解线性方程组 2.1 高斯消元法 矩阵举例 解： 第3行表示 是无解的，故原方程组无解。 2.1 高斯消元法 矩阵举例 这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组，有解的方程组称为相容方程组。 在行简化阶梯矩阵中，全0的行表示的方程称为多余方程；在行简化阶梯矩阵中，如果某行未知量系数全为0，而对应的常数量不为0，则此行表示的方程为矛盾方程。 在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程。 2.1 高斯消元法 线性方程组的解 对于一般的线性方程组，通过消元步骤，可以将其增广矩阵化为如下所示的行简化阶梯矩阵： 2.1 高斯消元法 线性方程组的解 该行简化阶梯矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组，因此线性方程组有解的充要条件是dr+1=0，在有解的情况下： 1）当r=n时，有唯一解 2.1 高斯消元法 线性方程组的解 2）当rn时，有无穷多解，把每行第一个非0元素cii所在列对应的未知量（这里是x1, x2, ... , xr）取为基本未知量，其余未知量（这里是xr+1, xr+2, ... , xn）取为自由未知量，并令自由未知量依次取任意常数