第三章量子力学中的力学量下.pptVIP

* 第三章 量子力学中的力学量 第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性 则称两个函数 正交性定义 （互相）正交性。 以后说明这是通常矢量正交性的自然推广 定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。 定理：厄米算符的本征值是实数 定理2：若厄米算符某个本征值存在k个不同(线性无关)本征函数，则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的（本征）函数。 显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数。 第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性 根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如 动量算符本征函数 角动量算符本征函数 一维线性谐振子 氢原子 波函数 波函数 波函数 波函数 波函数 一维无限深势阱 第5(6)节 算符与力学量的关系 前面提到，当系统处于力学量算符(厄米算符)的本征态时，力学量有确定值，这个值就是力学量算符在该本征态中的本征值。例如处于哈密顿算符本征态时的能量，动量算符本征态时的动量，角动量算符本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念： 完全系（完全性、完备集） 则称该函数集构成完全系或完备集， 满足 展开系数 称为几率幅。 注意展开系数满足 若厄米算符的正交归一本征函数集 第5(6)节 算符与力学量的关系 测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符, 算符 的本征函数构成 量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 的几率是 。 展开系数 称为几率幅。 如果测量F的结果为 ， 波函数塌缩为 。 完全系。当系统由归一化波函数 描述时，测量力学 平均值公式 未归一化波函数 平均值公式 归一化波函数 （分立谱） （连续谱） 按照几率求平均值的法则，可以求得力学量F在 态中的平均值。 例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。 几率密度 几率分布 电子动量在 范围的几率 氢原子基态 动量的本征态 例题 (定理) 任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。 例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p101 3.6题)设t=0时，粒子处于状态 求此时粒子的平均动量和平均动能 (1) 按动能算符的本征函数展开 (2) 按动量算符的本征函数展开 平均动能 平均动量 平均动能 按(1) ： 按(2) ： 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p101 3.7题)一维运动粒子的状态是 归一化常数A=? 若粒子的能量为E, 求系统的势能。 动量的几率分布函数 平均动量 动量的几率分布函数 平均动量 实际上，平均动量一看就知道为零。 积分是实数！ 1) 2) 3) 4) 第5(6)节 算符与力学量的关系 平均能量 实际上，平均能量可以非常方便地计算出 例题 (p101 3.8题)一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是 求粒子能量的几率分布和能量平均值。 能量本征函数和能量本征值是 能量的几率分布 (阱内) 例题 一维无限深势阱（ ）中的粒子处于状态 求(1)粒子处于 内的概率; (2) 求此时测粒子能量得到的可能值、相应的概率及能量的平均值。 解：(1)首先对波函数归一化得 所以此系统得归一化波函数为： 是定态波函数 所以，粒子处在 的概率 ： 其中 因为： (2) 能量的平均值为： 概率为： 概率为： 能量的可能值为： 例题 设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 (0xa)， 求在此任意态下，粒子能量的可能测量值和相应的几率。 可以把 分解如下 解：一个算符F在态 中可能的测量值，即为将 用F的本征态展开时，各本征态相应的本征值。相应的概率即为展开式中本征态前面的系数的模的平方。 其中， 为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此， 是 和 两态的叠加，能量的可能测量值为 或 测量值为 和 的几率各为 。 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p102 3.9题) 若氢原子处于状态 求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值 是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数 氢原子定态波函数 角动量z分量 角动量平方