6 第三章 弹性力学平面问题的解析解法.ppt

下边界： (l) (m) (n) 左边界： 左边界： (o) (p) (q) (r) (s) (t) 联立求解式（i）~（t）,可得具体的应力分量。 注：位移边界条件转化为应力边界条件。 第三章 弹性力学平面问题的解析解法 第七节 简支梁受均布荷载 第八节 楔形体受重力和液体压力 （1） (2-27) （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3） 再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 按应力求解平面问题的基本步骤： 按应力求解平面问题的方法： 逆解法 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y) 的形式； （2） 然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）； （3） 再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。 上堂课内容回顾： （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； （2） 根据 与应力函数φ(x,y)的关系及 ，求出φ(x,y) 的形式； （3） 最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 半逆解法 位移分量求解： （1） 将已求得的应力分量 （2） （3） 代入物理方程，求得应变分量 将应变分量 代入几何方程，并积分求得位移分量 表达式； 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。 要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 1. 应力函数的确定 (1) 分析： —— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起； ——由 q 引起（挤压应力）。 又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴　　不随 x 变化。 推得： (2) 由应力分量表达式确定应力函数 的形式： 积分得： (a) (b) —— 任意的待定函数 第七节 简支梁受均布荷载 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a) (b) —— 任意的待定函数 (3) 由 确定： 代入相容方程： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 方程的特点： 关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： (c) 此处略去了f1(y)中的常数项 对第三个方程得： 积分得： (d) (c) (d) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a) (b) 将(c) (d) 代入 (b) ，有 (e) 此处略去了f2(y)中的一次项和常数项 式中含有9个待定常数。 (e) 2. 应力分量的确定 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 （1）对称条件的应用： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 由 q 对称、几何对称： —— x 的偶函数 —— x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （2）边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得： 代入应力公式 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q ( i ) ( j ) ( k ) (b) 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。） —— 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = －ql； ( i ) ( j ) ( k ) 可见，这一条件自动满足。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 截面上的应力分布： 三次抛物线 4. 与材料力学结果比较 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 4. 与材料力学结果比较 材力中几个参数： 截面宽：b=1 , 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 ( p ) ，有 （3