有限元方法空间问题.pptVIP

空间问题的有限单元法 1 空间问题——三维应力状态 实际问题本质上都是立体的、空间的。对承受载荷的弹性体，应有三维应力状态。对弹性体内每点的位移，有u、v、w分别代表对应空间坐标系x、y、z方向的位移。 u、v、w本身也代表弹性体内的位移场，即它们都是物体内有效的空间坐标的函数，一般可以表示为： u=u(x,y,z)， v=v(x,y,z)， w=w(x,y,z)。 按有限元的习惯写法——算子形式，为： 对于这种简单的四面体单元，其内部位移可假设为坐标的线性函数．为满足完备性条件，应取为 由式(4．5b)求出al、a2、a3与a4，再代回式(4．5a)，整理后得： 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到a12 ,为： 用矩阵记法统一表达为： 如记矩阵 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等，它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数余子式。 在通常的右手坐标系xyz中，按上式计算时，四面体单元的4个节点排列的顺序应按右手规则，以使体积V为正。即由n点看klm平面，应使k、l、n为逆时针排列。 简单四面体单元内，位移是坐标的线性函数，单元体的任一三角形界面，变形后仍保持为一平面，且由该面上3个节点的位移决定。因而相邻两单元的三角形交界面上，在变形过程中，其位移是一致的，即两相邻单元的位移在交界面上是连续的，单元满足相容性条件。简单四面体单元的形状函数满足完备性又满足相容性要求，因而用此单元分析三维变形问题时，能收敛于精确解。 2．2 单元刚阵 将表达式(4．6)代入几何关系式(4．2)，经过微分运算，可以得到单元内应变为 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的应力也是常值。当然，一般受力情况下，三维体内有限大小的四面体内的应力并不是常值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有当单元划分得较小时，单元内的应力才会接近于常值，此时计算的应力在单元间的不连续才会比较小，因而可以作为真实应力分布的近似。 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中心一点的应力近似值是比较适当的。 计算单元刚度矩阵的公式如前仍为： 这里Ve为单元体积．由于简单四面体单元为常应变单元，故积分结果为： 按节点分块，此单元刚阵可以表示为： 其中任一个子矩阵为： 2．3 载荷分配 三维弹性体内如受有均布的体积力(如重力)作用，对于这种简单的四面体单元，可以逐个单元计算出整个单元的全部体积力，再平均分配到4个节点上，即每个节点分配1／4的单元体积力。 如果单元的某个表面作用有均布的面积力(如气体压力)，也可将此面上的全部面积力平均分配到相应的3个节点上，即每个节点分配到三角面上面积力总和的1／3。如果体积力、面积力不是均布的，则不应平均分配，而应按做功相等的原则等效分配。 注意前泛函P计算公式中关于外力功的表达，有： 在讨论了单元刚度矩阵及外载荷向节点的移置的计算公式后，由单元刚度阵去形成整体刚度矩阵及整体节点载荷向量的形成过程与前平面问题相比无逻辑上的差别。只要在“对号入座”的过程中注意在此每单元有4个节点，每节点有3个自由度即可。 关于边界条件、约束情况的处理也与前完全类似。 因此，下面再讨论某种有限元的时候，我们就不再讨论“单元”到“整体”的形成过程了。我们知道：只要在单元水平讲清该单元的节点数、节点自由度、形状函数及单元刚度阵等单元的特征就已经完全表达清楚了此单元的特点了。 简单四面体单元公式简单，但是精度比较低，单元内应力为常值且单元间应力不连续。为得到一定准确度的结果，往往要求将单元划分比较小，增加了整个问题求解的自由度，总的计算效益是不理想的。 但是，能很好的逼近任意几何形状是它的突出优点，是目前大型CAD软件所附的结构分析模块的网格自动划分功能的常用单元。 对三维问题的有限元分析，一般多采用复杂一些的、精度高一些的单元(如后的三维等参单元)，其综合效益会更好。 3 轴对称问题 前已讲过轴对称问题。其结构几何特征是旋转体，即几何形状对称于中心轴。如果旋转体所受的载荷也对称于中心轴，则其变形也是对称于此轴的。工程中常见的旋转轴、轮盘、受均匀压力的旋转体容器等，都属于轴对称问题。 如图4·2，取柱坐标作为参考系。结构受载荷而产生轴对称变形时，其位移、应变、应力都与角坐标q无关，而只是径向坐标r与轴向坐标z的函数。阴影部分为通过中心轴的平截面(子午面)。轴对称变形的每个子午面的变形在柱坐标系内是完全一样的。因而，结构虽处于三维应力状态，但可以只研究其任一个子午面内的情况。 用位移法，就是只研究这个代表截面的位移求得一个截面的位移分布，也就有了整个三维结构内的位移分布，从而可以求得体内任一点的应变及应力。这样，一个三维问题，就可以转化为一个二维问