9 动量矩定理.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 点O为定点，点C为质点系的质心，质点系对定点O的动量矩为 是质点系相对于质心的动量矩。 根据质点系动量计算公式 于是得 9.5 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系对于定点O的动量矩定理 因 于是 即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。 这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。 9.5 质点系相对于质心的动量矩定理 引入固连于质心的平动参考系 则质点系对于质心的动量矩为 由质心坐标公式，有 显然 即 于是得 9.5 质点系相对于质心的动量矩定理 可见，计算质点系相对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固连在质心上的平动参考系的相对速度 vir，其结果一样的。 平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。 取质心C为基点，它的坐标为xc，yc。设D为刚体上的任一点，CD与x轴的夹角为j，则刚体的位置可由xc，yc和j确定。 刚体的运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。 Cx′y′为固连于质心C 的平动参考系，平面运动刚体相对于此动系的运动就是绕质心C 的转动，则刚体对质心的动量矩为 9.6 刚体的平面运动微分方程 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系F1、F2、…、Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得 上式也可写成 以上两式称为刚体的平面运动微分方程。 9.6 刚体的平面运动微分方程 例：半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。 设轮的回转半径为rC，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心 的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为f，问力偶 矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？ 9.6 刚体的平面运动微分方程 解：取圆轮为研究对象， 因圆轮只滚不滑，有 于是 欲使轮只滚不滑，必须有 或 于是得圆轮只滚不滑的条件为 平面运动微分方程为 9.6 刚体的平面运动微分方程 F mg FN 例: 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求 (1) 圆柱B下落时质心的加速度。(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。 9.6 刚体的平面运动微分方程 解：(1)取圆柱A为研究对象 (a) 再取圆柱B为研究对象 (b) (c) 由运动学知识： 由（a）、（c）知 得 9.6 刚体的平面运动微分方程 (2)取圆柱A为研究对象 再取圆柱B为研究对象 由运动学知识： 联立上面四式，得 当M 2mgr 时， 即圆柱B的质心将上升。 若设初始时vC0=0，则 9.6 刚体的平面运动微分方程 例：均质实心圆柱体A和均质薄铁环B的质量均为m，半径都等于r ，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。 9.6 刚体的平面运动微分方程 解：先取薄铁环B为研究对象 所以 再取圆柱体A为研究对象 所以 解得 由运动学知 由运动学知 9.6 刚体的平面运动微分方程 例 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度? =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。 解：选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。 由定轴转动微分方程 9.6 刚体的平面运动微分方程 根据质心运动微分方程，得 9.6 刚体的平面运动微分方程 例：均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度?0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。 9.6 刚体的平面运动微分方程 解：选取圆柱为研究对象。受力分析如图示。 根据刚体平面运动微分方程 补充方程： 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。 9.6 刚体的平面运动微分方程 解上述方程得： 将上述结果代入第三式，有 解得： 补充方程： 9.6 刚体的平面运动微分方程 9.6 刚体的平面运动微分方程 例：质量为m、长为l的均质细杆AB，A端用绳吊起，B端搁在光滑的水平地板上，杆与铅垂线成角q。如图所示。若突然将A端的绳剪断，求此瞬时杆的角加速度和地板的约束力。 A B C q 以B为基点，求ac。 9.6 刚体的平面运动微分方程 A B C q y x o 解：以AB杆为研