数学人教B版选修1-2规范训练：3.2.1复数的加法和减法Word版含解析.docVIP

3．2　复数的运算 3．2.1　复数的加法和减法 1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　)． A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析　z＝3－i－(i－3)＝6－2i. 答案　D 2．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析　根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形． 答案　B 3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案　B 4．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________． 解析　||＝ ＝. 答案　 5．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________. 解析　z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4， 由复数相等的条件知 解得 a＋b＝3. 答案　3 6．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω. 解　设z＝a＋bi(a，bR)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意得a＝3b≠0. |ω|＝＝5， |z|＝＝5， 将a＝3b代入上式，得或 故ω＝±＝±(7－i)． 7．设zC，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)． A．0 B．1 C. D. 解析　由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离． 答案　C8．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于(　　)． A．10 B．25 C．100 D．200 解析　根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点， |O|＝＝5， |M1M2|＝10. |z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100. 答案　C 9．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．解析　因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4. 答案　－4 10．复数z＝x＋yi(x，yR)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________． 解析　方程|z－4i|＝|z＋2|表示线段Z1Z2(Z1(0,4)、Z2(－2,0))的中垂线， 易求其方程为x＋2y＝3. 2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2 ＝2＝4. 当且仅当2x＝22y， 即x＝2y且x＋2y＝3， 即x＝，y＝时取到最小值4. 答案　4 11．设mR，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解　因为z1＝＋(m－15)i， z2＝－2＋m(m－3)i， 所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. 因为z1＋z2是虚数， 所以m2－2m－15≠0且m≠－2， 所以m≠5且m≠－3且m≠－2， 所以m的取值范围是 (－∞，－3)(－3，－2)(－2,5)(5，＋∞)． 12．(创新拓展)设z1、z2C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解　法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0. |z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， |z1－z2|＝. 法二　|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)， 将已知数值代入，可得|z1－z2|2＝2， |z1－z2|＝. 法三　作出z1、z2对应的向量、， 使＋＝O. |z1|