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负数就是比零小的数—— 一个
完全错误的负数定义
内容提要:本文对初中一年级数学课本中的正数和负数概念进行了深入分析与考察,判定“意义相反的量”包含性质相反的量和界位相反的量两个有本质差别的内容,证明数轴上的正数和负数是假正数和假负数,肯定了我国数学家刘徽提出的正、负数定义,否定了“负数是比零小的数”这一从西方引进的负数定义,从而为最终扫除“虚数”迷雾奠定了理论基础。
主题词:负数 定义 批判
负数概念,在数学史上曾经出现过两个定义。第一个定义是我国魏晋时期的大数学家刘徽(225年—295年)于公元263年在《九章算术注》中提出的。《九章算术》是我国西汉初期的历算学家张苍和耿寿昌先后收集并增补先秦《九数》遗文而编定的数学经典。在《九章算术》第八章中有一段话专门记述了正数、负数和零混合加减的处理办法。原文是:“正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”在这八句正负术口诀中,“同名”、“异名”分别指同号、异号;“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减;“无入”是指本应先在的合并对象不存在,也就是被加数或被减数为零;前四句口诀讲的是正数、负数和零的减法法则,意思是同号两数相减,将绝对值相减,异号两数相减,将绝对值相加,零减去正数得负数,零减去负数得正数;后四句口诀讲的是正数、负数和零的加法法则,意思是异号两数相加,将绝对值相减,同号两数相加,将绝对值相加,零加正数得正数,零加负数得负数。这些法则与今天的正、负数加减运算法则是一致的。可惜的是,《九章算术》没有论及正数和负数的定义,此缺陷一直延续四百多年,直到刘徽给《九章算术》作注时才得以弥补。刘徽在注释“正负术”时,一开始就给正数和负数下了定义,他明确指出:“今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑。否则以邪正为异。”这几句话的意思就是:当两数在加法运算中会引起增加和减少两种相反结果时,要用“正数”和“负数”对这两种数分别命名;正数用红色算筹表示,负数用黑色算筹表示,否则就用斜着摆放与正着摆放的算筹分别代表负数和正数,以显示对负数和正数的区别。从刘徽这几句话里,我们可以看到两个思想要点:其一是,进行正负数命名的前提条件是“两算得失相反”,即“两算”的性质相反,是相互抵消关系,“两算”是在相反的数量关系中同时存在的,它们互为对立面;其二是,当“两算得失相反”时,必须对相反的“两算”进行区分,不仅是“要令正负以名之”,即用“正”“负”相反的名称把“两算得失相反”的本质体现出来,而且在有了“正”“负”相反的名称之后还要在运算过程中选用一定的方式把“两算”相反的性质予以标明、显示,不管采用什么方式都可以,但不能不标示,不能不区分。根据刘徽的这几句话我们得知:正数和负数就是用以区分和表示在运算中相互抵消的“两算”——两种量——的数,正数和负数互为对立面。
公元七世纪期间,印度数学家也深入探讨了正数和负数。在这些数学家中有著名的婆罗摩及多,他把正数叫做“财产”,把负数叫做“负债”,还采用在数字上面标上方向相反的箭头这种简便明确的方式区别正数和负数。印度数学家很早就发现正数的平方根有两个值①,但是他们没有提出正数和负数的定义。
在数学史上,提出负数第二个定义的是德国数学家米哈依尔.史提非(约1486年—1567年),他在发表于1544年的数学论文《整数算术》中,把负数定义为“比零小的数” ②。
对于史提非的这个定义,许多人感到难以接受,因为人们认为,零的本义是表示什么也没有,已经是最小的数了,不可能再小了。但是,要说人们完全不承认史提非的定义,也不确切,事实上也确有人认为负数只能比零小,因为负数只有在被减数小于减数时才出现,它所表示的是减数把被减数减完之后又继续往下减的结果,这就和一个人把属于自己的财产用尽之后又借了贷、负了债一样。两种观点似乎都有道理,于是人们陷入了困惑之中。美国著名数学评论家M.克莱因在他的著作《数学:确定性的丧失》中对这种困惑进行了反映,他写道:“在16、17世纪,并没有许多数学家心安理得地使用或者承认负数,更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。”③但是,历史并不因为困惑而停顿。让人难以置信而又必须承认的是,人们(其中包括史提非)正是在困惑中打破了长期存在的减数不能大于被减数的认识局限,终于写出了3-5=-2之类的运算式子。更让人难以相信的是,法国伟大哲学家、数学家笛卡尔也对“负数是比零小的数”之说法长期困惑,但也就是他,一边因为负数是比零小的数而把方程的负根称作假根,一边又在《几何学》中为具有划时代意义的平面直角坐标系新理论奠定了基础,④促使数学得到了空前的发展。这种不合逻辑的现象应该怎样解释呢?这是值得每个关心科学发展和人类进步的人认真深思的问
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