Ch4-3向量组的秩.ppt

小结 3. 判定 4 组重要的等价命题 §3 向量组的秩 例1 例2(P91例8) 2. 向量组的秩与矩阵秩的关系 小结 ——最大无关组及秩的求法 例4 例5(P93例11) 例6(P93例10) 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示， * * * * * * 只含一个非零向量的向量组线性无关, 1. 线性相关、线性无关的概念 2. 向量组线性相关性的充分必要条件 (1)只含一个零向量的向量组是线性相关的; (2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. (3)含有零向量的向量组线性相关. (4)线性无关向量组的接长向量组仍线性无关. (5) n 维单位坐标向量组线性无关. (1) 部分组线性相关，则整体组也必定线性相关； 整体组线性无关，则部分组也必定线性无关. (2) 向量组中向量个数大于维数时必线性相关； 线性无关向量组中向量个数不大于其向量的维数. (3) 若线性无关的向量组添上一个向量就线性相关 定义 向量组?1 ,…, ? m 线性相关 ? 矩阵 A=(?1 ,…, ? m)的秩 m 向量组?1 ,…, ? m( ? 2)线性相关 ? 其中至少有一个向量可由其余 m-1个线性表示 P88Th4 P89Th5(1) P89Th5(2) ? 添上的向量可由这个向量组唯一地线性表出. P89Th5(3) (4) 线性无关向量组的接长向量组仍线性无关； 线性相关向量组的截短向量组仍线性相关. 简单性质(4) 矩阵非零子式所在的列(行)向量必线性无关. Th4 和(4)的推论 列向量组 A: a 1, a 2, …, a m与向量组 B: b1, b 2, …, b l 等价 ? 矩阵方程 AX = B 有解 ? R(A)= R(A, B) (P84Th2) ? R(B)? R(A) 列向量组B: b1, b2, …, b l 能由向量组 A: a 1, a 2, …, a m 线性表示 (P85Th3) ? R(A)= R(A, B)= R(B)． ? 存在矩阵 K，使得 AK = B ? 存在可逆矩阵 K，使得 AK = B (此为充分而非必要条件） 向量 b 能由向量组 A: a 1, a 2, …, a m 线性表示 ? R(A)= R(A, b) 向量组 A: a1, a2, …, a m 线性相关 ? 存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1 a1 + k2 a2 + … + km am = 0 ． ? m 元齐次线性方程组 A x = 0 有非零解． ? R(A) m ． ? 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m -1 个向量线性表示 (P88Th4) ——严格的数学化定义 ——线性表示的等价说法 ——定义的方程等价说法 ——秩的等价说法 向量组向量个数 = 未知量个数 = 矩阵的列数 一个线性无关向量组的最大无关组？ A0 所含向量的个数 r 称为向量组 A 的秩. 则称 A0 是 A 的一个最大线性无关向量组， 定理5(3) 1. 向量组秩的概念 定义1(P90D5) 如果在向量组 A中有 r 个向量 ⑴ 向量组 ?只含零向量的向量组没有最大无关组. ⑵ 向量组中任意 r+1个向量(如果有的话)都线性相关， 满足 线性无关； 简称最大无关组. 1. 无关性 2. 最大性 就是向量组本身. 再添一个就线性相关 R 3 ? 可线性表示A A0是 A 的一个最大线性无关组 等价定义(P91推论) 线性相关 ? 秩 其向量个数 A可由 ?1, ? 2, …, ? r 线性表示 规定只含零向量的向量组的秩为零. 求 向量组的一个最大无关组. 其实, ? 1, ? 2 与 ? 3, ? 4 也都是其最大无关组. 解 分量不对应成比例， ? 1, ? 2是最大无关组 ~ ~