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关于一道例题的探究性学习与思维品质的培养 南县一中 肖胜军 人教版教材《数学?选修4-4》第二讲中有一道例题：如图2-13，O是直角坐标原点，A，B是抛物线上异于顶点的两动点，且并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。这是一道很具有典型性和代表性的题，是我们学习解析几何的一个很好的素材，这节课可充分利用探究式教学，培养学生解析几何的思维品质，为解决高考中有关解析几何压轴大题奠定很好的基础。教师可从以下几个方面来引导探究： Ⅰ 一题多解，思维发散，培养思维的敏捷性与灵活性 师：我们已经学习了抛物线的参数方程，如何用参数方程来求动 点M的轨迹呢？ 生1：可根据条件，设点M，A，B的坐标分别为， 则， ，即：…………………① ，即： 即：……………………………………………………………………② 又 即：………………………………………………………………③ 由①②③可得：点M的轨迹方程为 师：这位同学的解答利用了抛物线的参数方程，设出A、B两点的坐标，再利用题中三个独立的已知条件建立三个方程，再联立方程消参，便可得到所求的轨迹方程。请同学们再想一下，为什么要建立三个方程，两个方程行吗？由此你能得到什么结论？ 生2：因为设立了两个参数，再加上等于有四个未知数，要消去参数得到的关系，就必须建立三个方程，由此，如果设一个参数就只要一个方程，设三个参数就要四个方程了……以此类推，方程的个数比参数多一个就行了。 师：很好，我们学习了参数方程，主要是要大家在解题时自觉建立参数的思想解题，以前我们设直线的方程、弦的端点坐标等等实际上就是用到了参数思想。再请同学们思考一下，还有设参数的方法吗？ 生3：设 由 ………………① ……………② 即：……………………………………③ ………………………………………… ⑥ 又M、A、B三点共线，则动点满足：………………⑦ 由以上方程联立可得动点的轨迹方程为 师：以上同学的解法通过设出直线AB的方程（斜截式）及端点参数，再利用韦达定理，运用设而不求的思想求解，体现了同性通法，使我们更能清楚地看出问题的本质特点。但设出了参数太多，利用的关系也较多，还有设其他参数的方法吗？ 生4：设 由同理可得 则 由…………………………………………① 由M、A、B三点共线…………………………② 联立①②消去参数k便可得到动点的轨迹方程为 师：上述同学解法只设定一个参数便可求解，方法更简洁，体现了数学美的特点。但消参较繁琐。比较上述几种解，我们发现第一种方法参数不多消参也比较简洁，相比另外两种方法更好。 Ⅱ 纵向延伸，揭露本质，培养思维的深刻性 师：上面我们以抛物线为载体，研究了坐标原点在弦AB上的射影的轨迹方程，下面我们继续解决一下几个方面的问题： ②求弦中点坐标； ③求三角形ABC面积的最小值； ④探究是否为定值。 生1： 则 再根据上一题的解法有 故消去有 生2：设 则有： 由 由此可得AB弦中点M的轨迹方程为： 师：以上两位同学的解法基本上沿用了第一题的思想方法，圆满地完成了解答。下面再请同学们思考一下，如何求面积的最小值？ 生1：则 由 当且仅当即A、B两点关于x轴对称时最大。 生2：设则原点O到直线AB的距离为 由 又 当且仅当t=0,即x=b=2p 师：以上同学的解法也无非是借助参数将面积表示出来，参数选用了不同的方式，可见利用参数思想解题是多么重要。请同学们继续思考一个问题：为定值吗？如何探求？ 生3：可借助极坐标来表示出来： 设由 显然不是定值。 师：利用极坐标方程简洁表示了值得我们推广和借鉴。 Ⅲ 横向拓展，问题类化，培养思维能的批判性 师：以上我们以抛物线为载体研究了四个方面的问题： ②求弦中点坐标； ③求三角形ABC面积的最小值； ④探究是否为定值。 我们能否将这些问题放到我们椭圆和双曲线中来研究了。 下面我们以④为例，来研究一下在椭圆和双曲线中是否为定值。 生1：在椭圆中，我们仍然设由椭圆的标准方程 生2：在双曲线中我们仍然设由双曲线的标准方程 Ⅳ 通性通法，直击高考，培养思维的创造性与迁移性。 师：在高中，参数思想解题往往受到高考命题者专家的青睐，多次命制这方面的试题，而且一般是中档以上的试题，甚至出现压轴题。我们只要心中有“法”，照样能以一敌百、无望而不胜。如在2007年天津高考试卷中最后一题是： （07年高考天津卷22题）设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为， （Ⅰ）证明： （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，过原点O作直线的垂线OD，垂直为D，求D的轨迹方程。 师：本题第（Ⅰ）问运用常规方法求解，题目不难，一般都能拿下。第（Ⅱ）问实际上是书本上那个例题的变式，