养老保险问题的数学模型.docVIP

养老保险的模型设计 柏强 魏永涛 摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析： 方案I：40足岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额；方案II：40足岁开始投保，投10年，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。将两方案进行比较，投保方法相同，只是领取养老金的方法不同。这样,便简化了数学模型的建立。 问题一：指出对投保人更有利的方案。针对该问题需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率(其定义为：领取的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。在此需说明： a． 表示投保人获利；b． 表示投保人和保险公司等价交换；c． 表示保险公司获利。此外，的值越大说明对投保人越有利。我们计算出方案I的值为0.039322，方案II的值为0.019176； 根据我们的对的定义可知：方案I对投保人更有利。 问题二：建立一般数学模型。此问题相当灵活，在此，我们将问题涉及到的所有参量均作一般化处理，从而建立对保险问题通用的数学模型。具体实现如下： a.统一两方案并将问题作一般化重述： 投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a元。若预期寿命为k岁，银行年利率为。同时，对其中的参量作定性的约束。 b.据以上重述及对问题的分析建立一般模型。 此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏性分析；但其中不足之处亦有之：模型没有图形、表格之类的部分，不能使问题更清晰，直观地表现。 一 问题重述 某人40岁时参加养老保险，有二家保险公司推出二种不同的方案，方案I：40岁起每年交费437元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1200元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元。方案II：40岁起每年交费750元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000远，以后每年增加50远，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元。若预期寿命为75岁、银行年利率为5.8%,问： 那一种方案对投保人有利； 试建立一般数学模型。 二 基本假设 根据题目的规定和实际情况，做出如下合理的假设，使问题简化易于解决。 1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。 2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。 3、银行的年利率不随时间的变化而变化。 4、对投保人更有利理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总数（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。 三 符号说明 ： 投保利息； ： 投保收入利息； ： 投保收入(领取的总金额+利息)； ： 领取总金额； ： 投保费(投保总金额+利息)； ： 投保总金额； a： 投保人死后，保险公司一次支付其家属金额。 四 问题分析 本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述问题，解决本问题需要经历以下几个过程： 问题及其抽象 根据我们所假设的条件可知：对投保人的有利程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。 定义如下： 投保有利率= 即： ………………………… (1) 上式的投保率也就是我们所求问题的解，即：如果投保有利率越大，那么对投保人越有利。 据假设及其定义，有如下情况： 1、 表示投保人获利； 2、 表示投保人和保险公司等价交换； 3、 表示保险公司获利。 2．主要元素之间的关系 投保人在投保的同时必须考虑到所投出的资金所产生的利息，此时所产生的利息（）其实也是投保总金额（）的一部分。我们不妨设： 投保收入（）=所领取的金额+利息 即： = …………………………… (2) 同理，设： 投保费=投保总金额+利息 即: =+ ………………………… (3) 以上式（2）、（3） 带入（1）式便可求解，越大说明在同环境下做投保越有利。 五 模型建立与求解 问题一： 针对此实际问题据以上分析可知： 方案I： 40岁起每年交费437元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1200元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元； 据(3)式可知： 投保费为： ………………………… (4) 其中：表示第i岁时投保金额； 表示