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减少解析几何运算量的常用策略 浙江省上虞中学 谢全苗（312300） 解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量 回到定义 定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”． 例1　一直线被两直线：和：截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程． 简析略解：此题的一般求解思路是：先求出分别与、的交点（用表示），然后利用中点坐标公式求出，进而得到的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法． 设分别与、交于点、，又设的坐标为（），则有① 又因为、关于对称，所以点的坐标为（），则有② ①×２＋②，得． 可见）在：上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为． 例2　已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，求动点的轨迹方程． 略解：设，延长和直线相 交于，则，且≌． 　　所以，， 由椭圆的定义得：． 所以　，　即 所以，动点的轨迹方程为． ２．设而不求 例３ 　已知的三个顶点都在椭圆上，若，重心是椭圆的右焦点，求直线的方程． 简析略解：因为椭圆的短轴的顶点，右焦点为重心，所以的坐标与三顶点的坐标有关，故设，则 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 又因为在椭圆上，故 由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线的方程． 对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？ 由③－④得：． 由题意知：，将①、②整体代入得　， 这个正好是直线的斜率　， 而的中点坐标，即， 所以直线的方程为：． 问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略． 用好对称 数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易． 例４　如图2，在直线上任取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程． 简析略解： 椭圆两焦点为，， 作关于直线的对称点，要使所作椭圆的长轴 最短，即最短，也就是 最短，故点应是直线与已知直线的交点， 如图2． 直线的方程为，由方程组　　　　　　　　　得点，由中点坐标公式得，故直线的方程为． 解方程组　　　　　　　　　　得所求点的坐标为（－５，４）． 由于，此时椭圆的方程为． 注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系． 活用平几 由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了． 例5（2001年全国高考试题）设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点O． 简析略证：如图３，记 轴与准线交点Ｅ，过Ａ作 ，垂足为Ｄ，则∥∥． 连结，与相交于点，则由平几知识得： ，， 根据抛物线的几何性质，，， 所以　，即是的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线经过原点O． 巧用向量 向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善. 例６　（1999年全国高中数学联赛试题）已知点，过点的直线与抛物线交于Ｂ，Ｃ两点，试判断的形状． 解：设，，，，，则有，． ∵　Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线，　∴　∥． 所以　＝０ ． 又＝＋ ＝［＋４］＝０， 所以　，故为直角三角形． 例７　已知圆和两个定点，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为，点Ａ关于的对称点为，求的最大值． 分析：本题的常规解法是：首先求出点的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求的表达式（要运用点的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算