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函数动态题型专项例题精讲 9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒． (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标； (3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 解：（1）（1，0） 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分 （2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，． ∴． 在Rt△AFB中， 3分 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点． ∵ ∴△ABF≌△BCH． ∴． ∴． ∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴． ． ∴． ∴． 设△OPQ的面积为（平方单位） ∴（0≤≤10） 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分． ∵0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分 此时P的坐标为（，） ． 7分 （4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分 10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．  解：（1）正确． （1分） 证明：在上取一点，使，连接． （2分） ．，． 是外角平分线， ， ． ． ，， ． （ASA）． （5分） ． （6分） （2）正确． （7分） 证明：在的延长线上取一点． 使，连接． （8分） ． ． 四边形是正方形， ． ． ． （ASA）． （10分） ． （11分） 11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点． （Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标； （Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标． 解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合， 则. 设点的坐标为. 则. 于是. 在中，由勾股定理，得， 即，解得. 点的坐标为. 4分 （Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为, 则. 由题设， 则， 在中，由勾股定理，得. ， 即 6分 由点在边上，有， 解析式为所求. 当时，随的增大而减小， 的取值范围为. 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且. 则. 又，有. . 有，得. 9分 在中， 设，则. 由（Ⅱ）的结论，得， 解得. 点的坐标为. 10分 12（09太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．时，求的值．则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示） 解：．和四边形关于直线对称．垂直平分． 1分 ∵四边形是正方形，∴ ∵设则 在中，．解得，即 3分 在和在中， ， ， 5分 设则∴ 解得即 6分 ∴ 7分 方法二：同方法一， 3分 如