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函数的周期性极其解题研究 陕西省西安中学 王 扬 摘要：本文就有关函数周期性问题，从它给出的形式上做了五个方面的归纳总结，并以实例介绍了处理各种类型问题的一些常用方法。 近年来，有关函数周期性的问题在数学竞赛试题及一些刊物的问题征解中屡次出现，因其问题的表现形式具有较高的抽象性、综合性，故使一般学生不易入手，在此，我们拟从问题的给出形式上作以归纳总结，同时介绍处理这类问题的一些常用方法，不妥之处请同行不吝赐教。 以几何性质给出问题 有些代数问题往往以函数的几何性质来刻画题目的结构，然后让学生判断该函数的周期性或再据此来解决相关问题。 若函数在R上有定义，且对一切实数x，满足 ，设 的一个根是x=0,记在区间中根的个数为N，求N的最小值。（第2届美国数学邀请赛试题之一） 解：∵ ； （1） ； （2） ∴ ∴ 函数 是以10为周期的周期函数。 又 即 在（0，10）上至少有两个根，从而，在上至少有401个根。 本题蕴涵了如下一个一般化形式的结论： 若函数（x∈R）的图象关于二直线 皆对称，则函数是以为周期的周期函数。证明略。 例2．设是定义在R上周期为2的周期函数，且为偶函数，已知当 时，，则当时，的解析式是（ ）。 （A）；（B）；（C）；（D）。 （1990年全国高中数学联赛一（2）） 解：建立平面直角坐标系，作函数（）的图象，再利用函数的周期性、对称性作出在（）上的图象，于是的表达式应为（），故选C。 例1讨论的是其函数图象关于平行于y轴的两条直线对称的函数的周期性，那么，其图象关于有相同纵坐标的两点为对称的函数将呈现什么样的周期性？ 若函数的图象关于两点（na）皆对称，是以为周期的周期函数。 证明：据条件对 有 （1） （2） ∴ 函数是以为周期的周期函数。 如果函数的图象关于一个点和一条垂直于OX轴的直线对称，那么，该函数是否也具有周期性？ 设是定义在R上的函数，且满足下列关系 （1） （2） 则是 （ ）。 （A）偶函数，又是周期函数。（B）偶函数，但不是周期函数。 （C）奇函数，又是周期函数。（D）奇函数，但不是周期函数。 解：由题设知的图象关于直线x=10和关于点（20，0）皆为对称，由（1）得 ， 即 （3） 仿此有 （4） 由（2）、（3）得 （5） 由（2）有 再由（4）、（5）即得 ，即是以40为周期的周期函数。再由（4）、（5）即得 ，这表明又是奇函数。所以，选（C）。 本例蕴涵了如下一个一般性结论： 若函数（x∈R）的图象关于点和直线x=b（ba）皆对称，则函数具有周期. 以数列递推式（或函数迭代）关系给出问题 有些竞赛题以数列相邻几项或等距离几项为递推式，或是以函数迭代形式表现出来，处理此类问题需具备数列、复合函数方面的基本知识和一些独特的技巧，如代换、求通项、解方程等。 例5．实数 ，是定义在全体实数集R上的实值函数，对每一个实数x，有 ， （1）证明：是周期函数。（10——IMO——5） 证法一：（代换法） 将（1）移项后两边平方，得 即 （2） 在（2）中用 替换 后得 （3） 得 （4） 但据（1）知 ，对任意，，于是，由（4）得到 ，此式表明是以2a为周期的周期函数。 证法二：（解方程法）由 （1） 得 （2） 将（1）整理成关于的方程得 ， ∴　　　 ，注意到，故 上式取+号，即 （3） 比较（2）与（3）知 ，这表明是周期函数。 证法三：（复合函数法） 由题设知 这是因为 （已知条件等式），所以，是以2a为周期的周期函数。 例6．已知是定义在R上的函数，且，（1）试证是周期函数；（2）若，试求。（1989北京高一竞赛题） （1）证：由条件知 ，所以， （1） 用代换上式中的x，得 ∴ ，即是以8为周期的周期函数。 （2）解：据（1）知，是以8为周期的周期函数，所以 。 注：类似于本例（1），可讨论其更一般的结论： 若函数在R上有定义，且， ，则是以为周期的周期函数。 例7：设对任意，有 ，试证，函数为周期函数。 证：用替换上式中的后得， （1） 进而有 （2） （1）+（2）得 ，即 所以， ； （3）