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初三数学同步辅导教材（第16讲） 一、教学内容 本周主要学习 7.12 解决和圆有关的比例线段． 二、重点、难点剖析 1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容．理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求．运用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标． 和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B、C． 则PA2＝PB ? PC. 显然，易证得△PAB∽△PCA． 则＝，即 PA2＝PB ? PC. 这里值得提醒大家，学习中既要懂得定理产生的过程， 又要注意在应用时不要再去判定相似，而是可以直接使用定理． 2.学会用运动的观点看问题，体会特殊和一般的关系，提高认识问题的能力． 从相交弦定理到切割线定理（以及它们的推论）充满着点的运动、特殊与一般的丰富内容． 相交弦定理 若⊙O的两条弦AB、CD相交于点P. 则 PA ? PB＝PC ? PD. 若AB是⊙O的直径（特殊的弦）， 弦CD⊥AB于点P（特殊的位置） 则 PA ? PB＝PC ? PD＝PC2. 当圆的两条弦所在的直线相交于圆外一点P， 则PA ? PB＝PC ? PD仍然成立. 易证 △PAD∽△PCB， 则 ＝， 即 PA ? PB＝PC ? PD. 若是割线PBA与⊙O的两个交点A、B在⊙O上逐渐靠拢，并重合时，则得 PA ? PB＝PC ? PD ? PA2＝PC ? PD（切割线定理）． 若是割线PDC的C、D两点也是如此运动， 则PA2＝PC ? PD＝PC 2 ? PA＝PC（切线长定理）． 弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要注意： (1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定； (2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系． 3.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视． 例 已知：P是⊙O外的一点，PAB是不经过圆心O的一条割线，PO交⊙O于点Ｃ，⊙O的半径为r，OP＝d，则PA ? PB等于（ ） Ａ.d?(d－r) Ｂ. d?(d＋r) Ｃ.d 2－r 2 Ｄ.d 2＋r 2 解 延长PC交⊙O于点D, 则 PA ? PB＝PC ? PD. ∵ OC＝OD＝r,OP＝d， ∴ PC＝d－r，PD＝d＋r 则　PA ? PD＝(d－r) ? (d＋r)＝d 2－r 2.选Ｃ． 三、典型题例 例１ ⊙O的AB、CD两弦相交于点P. (1) 若PA＝7，PB＝6，PC＝5，则CD＝　　　　　； (2) 若AB＝9，CD＝6，PA＝8，则PC＝　　　　　； (3) 若AB＝12，PA＝4，PC＝PD，则PC＝　　　　　； (4) 若PA＝PB＝4，PC＝PD，则CD＝　　　　　． 解 (1) PA ? PB＝PC ? PD PD＝＝＝8.4 则 CD＝PC＋PD＝13.4 (2) ∵ AB＝9，PA＝8，　∴　PB＝1. 又CD＝6，　∴　PD＝6－PC. 则 PC ? (6－PC)＝8?1，　∴　PC＝2或4. (3) ∵ AB＝12，PA＝4，　∴ PB＝8. 则PC2＝12×4，PC＝4（舍去负值）． (4) 设PC＝x，则PD＝4x. ∴ x ? 4x＝4 ? 4，x＝2， 则 CD＝PC＋PD＝5x＝10. 说明 (1)为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理； (2)由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程进 行求解； (3)注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长． 例２ 如图，已知：PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，割线PDB交⊙O于点D、B.求证：AB ? CD＝AD ? BC. 分析 从条件知，PA＝PC，△PAD∽△PBA， △PCD∽△PBC； 由结论知，欲证AB ? CD＝AD ? BC，即证 ＝. 因此，可以用“做做比比”的方法证得结论． 证明 ∵ △PAB∽△PDA（想一想，为什么？） ∴ ＝. 又 ∵ △PBC∽△PCD ∴ ＝. （这就是从结论的要求，结合条件去做做） 又 ∵ PA＝PC（想一想，又为什么？） ∴ ＝． 则 ＝（比比后得出结论） 即 AB ? CD＝AD ? BC． 例３ 如图，已知：⊙O的弦CD垂直于直径AB，垂足为M，E是⊙O上一点，过E点的切线