初三数学联赛辅导四点共圆.docVIP

四点共圆 四点共圆的判定方法： （1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆 （4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。 （5）若四边形的对角线相交于，且，则它的四个顶点共圆。 （6）若四边形的一组对边、相交于，且，则它的四个顶点共圆。 （7）（托勒密定理的逆定理）若四边形中， 则、、、四点共圆（8）（西姆松定理的逆定理）从外一点引三边、、所在直线的垂线，垂足为、、，若、、共线，则、、、四点共圆 例1 如图，三边上的高交于，不于任一顶点重合，则以、、、、、、中某四个点可以确定的圆共有多少个？ 例2 给出锐角，以为直径的圆与边的高及其延长线交于、，以为直径的圆与边的高及其延长线交于、，求证：、、、四点共圆 例3 在等腰中，为底边上任意一点，过点作两腰的平行线分别与、 交于点、，又点是点关于的对称点，求证：点在的外接圆上 例4 、、三点共线，点在直线外，、、分别为、、 的外心，求证：、、、四点共圆 例5 在梯形中，‖，，、分别在、上，，求证： 例6 如图，中，高、交于，且，为内的一点， 且，,连结，求证：平分 例7 如图，内接于圆，、是圆的切线，作∥交于，连结并延长交于，求证： 例8 正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，， ，求 例9 如图，在平行四边形中，于，于，若，，，求的长度 例10 如图，已知直线、切圆于点、， 圆上一点，到、的距离分别为4厘米和6厘米，求到的距离 例11 在的边、上分别取点、，使得， 求证： 例12在梯形中，‖，，，， ，求的长 例13 在锐角中，，是高上一点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，已知、、、四点共圆，求证：为的垂心 例14 如图，圆外一点，切圆于，是割线，于，求证： 例15 如图，已知，在凸五边形中，，，且，，求证： 例16 如图，为的一条高，是过的一条直线，、都是上的点，满足，，设、分别为、的中点，证明： 例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积 例18 证明（托勒密定理)凸四边形的四个顶点共圆的充要条件是 例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为，求引出的三条对角线的长度之和 例20 证明（西姆松定理）从外一点，引三边、、所在直线的垂线，垂足是、、，则点在的外接圆上的充要条件（点在内时）是、、共线，亦即 初三数学特长班讲义 四点共圆 7