初中几何综合之图形证明题教师用.docVIP

几何综合之图形证明题 1、（2013年潍坊市）如图，四边形是平行四边形，以对角线为直径作⊙，分别于、相交于点、. （1）求证四边形为矩形. （2）若试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由. 答案： 考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角关键是掌握形的判定方法①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=，CD=，且，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由. 考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。 解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。 （1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。 （2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有这些知识的积累足够解决。 （3）问中可以考虑构造（1）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。 解：（1）如图所示．如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分. 理由如下： ∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心 ∴AP=CQ，EB=DF， D在△AOP和△EOB中， ∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE ∴∠AOP=∠BOE ∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB ∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD 设点O到正方形ABCD一边的距离为. ∴ ∴ ∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分 另解：∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的中心 ∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45° ∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90° ∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ ∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF ∴ ∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分 （3） 存在.当BQ=CD=时，PQ将四边形ABCD面积二等分. 理由如下：如图③，延长BA至点E，使AE=， 延长CD至点F，使DF=，连接EF. ∴BE∥CF，BE=CF ∴四边形BCFE为平行四边形， ∵BC=BE=+，∴平行四边形DBFE为菱形 连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF ∴AM=DM.即点P、M重合. ∴点P是菱形EBCF对角线的交点， 在BC上截取BQ=CD=，则CQ=AB=. 设点P到菱形EBCF一边的距离为 ∴ 所以当BQ=时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分. 另解：存在.当BQ=CD=时，PQ将四边形ABCD面积二等分. 理由如下：如图④，连接BP并延长BP交CD延长线于点F，连接CP ∵点P是AD的中点，∴PA=PD ∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF ∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中线，∴ ∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB ∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分线. ∴点P到AB与CB的距离相等， ∵BQ=，所以CQ=AB= ∴ ∴ 所以当BQ=时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分. 3、（2013?玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽． 考点： 直角梯形；矩形的判定与性质