初中数学培优专题之数据的集中程度.docVIP

初中数学培优专题之—： 数据的集中程度 （作者：顾厚春，江苏省兴化市板桥初级中学，邮编：225700，QQ：646002269，手机 当代信息社会,人们需要对纷繁的信息作出适当的判断、选择与处理．．． 1、平均数 (1)定义：一般地，对于n个数x1，x2，…，x n ，我们把（公式①）叫做这 n 个数的算术平均数，简称为平均数．.可以类推到有关实际问题中，比如：平均速度等于总路程除以总时间的商，班级数学考试成绩的平均分等于全班同学数学考试成绩的总分除以班级人数的商，若干件某种商品的平均价格等于总价钱除以总件数的商，等等.我们把样本中所有个体的平均数称为样本平均数把总体中所有个体的平均数称为总体平均数. （2）平均数的简便计算方法：若个数，…， 都在常数附近波动，那么，得到一组新数，，…，，先求出这组新数据的平均数，从而就能得到原来那组数据的平均数为（公式②），公式②称为平均数的简化计算公式. （3）加权平均数：在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它数据更重要。所以，我们在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权 ”，这样计算得来的平均数称为加权平均数.如果在n个数中，出现次，出现次，…,出现次，其中++…，则这n个数的平均数为（公式③）， 其中、、…、分别叫做、、…、的权. “权”字含义有权衡轻重之意． 越大，就越多，越重要．加权平均数中“权”表现形式:整数的形式比的形式百分比的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二精讲 参与数学解题过程品味数学内在魅力 ！（江苏省第二十一届初中数学竞赛初三年级第1试）设有四个数，其中每三个数的和分别为24，36，28，32．则这四个数的平均数为 . ，由于是只要求这四个数的平均数，所以可以将四个方程相加得3（a+b+c+d）=120，所以a+b+c+d=40，所以a、b、c、d的平均数为（a+b+c+d）=10. 答案：10. 技巧提升：我们也可以逆向思考，设四个数之和为x,则四个数应分别为x-24、x-26、x-28、x-32，由题意可得(x-24)+(x-36)、x-28+(x-32)=x，可解得x=40. 例2 (2008年杭州市“思维数学”夏令营)小杭10次数学练习的平均分是87分, 如果去掉其中的一个最高分95和最低分55, 那么他的平均分变成了 _____ 分. 其中的一个最高分95和最低分55=90. 答90. 技巧提升：平均数定义公式中，在平均数、数据个数、数据总和这三个量中，知道其中的任意两个的值，就能求出第三个的值. 例3 （2010年天津市初中数学竞赛初赛试题）有n个连续的自然数1,2,3，…，n,若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n和x的值分别是 .[参考公式：）] 解：由已知条件得，n个连续的自然数的和为. 若x=n，则剩下的数的平均数是； 若x=1，则剩下的数的平均数是 ； 故，解不等式得. 当n=30时，，解得； 当n=31时，，解得； 当n=30时，，解得. 答案：n=30,x=1；或n=31,x=16；或n=32，x=32. 技巧提升：列出不等式（组）。利用不等式（组）“逼出”n的值，这是解决本题的关键，这种解法通常称为“夹逼法”. 例4 (2009年湖州)某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ） A．11元/千克　　B．11.5元/千克　C．12元/千克　　D．12.5元/千克这里的混合单价应取平均单价．11．．B．．例5 （2010济南）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从七年级的200名同学中任选出十名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量（单位：吨） 0．5 1 1．5 2 同学数（人） 2 3 4 1 请你估计这200名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A．180吨 B．200吨 C．240吨 D．360吨 分析选出的10名同学家庭平均节约用水量为（0．5×2+1×3+1．5×4+2×1）÷10=1．2，1．2×200=240． 答案C． 平均数是用来衡量一组数据的一般水平，用样本平均数可以估计总体平均数．例6 （2008年牡丹江市中考题）三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表一和图一： （1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整． （2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候