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初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 内容提要： 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征： 　　 ①抹去个位数　　②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。 如 1001　　100－2＝98（能被7整除） 又如7007　　700－14＝686，　　68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数　　②减去原个位数　　　③其差能被11整除 如　1001　　　100－1＝99（能11整除） 又如10285　　1028－5＝1023　　102－3＝99（能11整除） 例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。求x,y 解：x,y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6. ∵328＋＝567，∴x=3 例2己知五位数能被12整除，　　求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 　　当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 　当末两位能被4整除时，X＝0，4，8　∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 　调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习 １．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593　　②　1859　　③1287　④3276　⑤10101　⑥10296 2．若四位数能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数能被11整除，那么　X＝__________- 4．当　m=_________时，能被25整除 5．当 n=__________时，能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________ 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 己知五位数能被15整除，试求A的值。 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（2） 倍数　约数 内容提要 1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。 例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。 如0是7的倍数，7是0的约数。 3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数， 例如5的倍数有±5，±10，……。 4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。 例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。 例题　 例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。 　解：列表如