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初中数学竞赛辅导资料(70) 正整数简单性质的复习 甲. 连续正整数 一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数) 练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个. 2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数； 　　　　　　　　　　　　100110021003…_______位数. 3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个； 从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. 二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×. 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和. 练习：5.计算2+4+6+……+100=__________. 1+3+5+……+99=____________. 5+10+15+……+100=_________. 1+4+7+……+100=____________. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和 整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45； 1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901. 练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止： 这个数用9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题) 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中： 它是一个________位数； 它的各位上的数字和等于________； 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________. 四.连续正整数的积： ① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘. ② n个连续正整数的积能被n!整除. 如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1). a为整数. ③ n! 中含有质因数m的个数是++…+. [x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3… mi≤n 如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____ 16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个 　　　　　　(1988年全国初中数学联赛题) 17. 求证：10494 | 1989! 18. 求证：4! | a(a2－1)(a+2) a为整数 五. 两个连续正整数必互质 练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之. 乙. 正整数十进制的表示法 一. n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0 其中n是正整数，且0≤ai≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0. 例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1. 例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除. 证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33 =12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33. ∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n≡1 (mod 9) ∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23) =99k+45×11 =99k+99×5. ∴A能被99整除. 练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成192