北师大版高中数学(必修)《空间图形的基本关系与公理》教案.docVIP

空间图形的基本关系与公理 一. 教学内容： 空间图形的基本关系与公理 ? 二. 学习目标： 1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。 ? 三、知识要点 （一）空间位置关系： I、空间点与线的关系 空间点与直线的位置关系有两种：?点P在直线上：；?点P在直线外：； ? II、空间点与平面的关系 空间点与平面的位置关系有两种：?点P在平面上：?点P在平面外：； ? III、空间直线与直线的位置关系： ? IV、空间直线与平面的位置关系： ? V、空间平面与平面的位置关系：?平行；?相交 说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。 ? （二）异面直线的判定 1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可； 2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。 ? （三）平面的基本性质公理 1、公理1? 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。 2、公理2? 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。 3、公理3? 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线 4、平面的基本性质公理的三个推论 ?经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； ?经过两条相交直线，有且只有一个平面； ?经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考： ?公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ ?平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？ ? （四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。 （五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ? （六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。 ? 【典型例题】 考点一? 空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。 例1. 下列命题： ?空间不同的三点可以确定一个平面； ?有三个公共点的两个平面必定重合； ?空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面； ④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。 其中正确的命题是????????? ????????????????????????????????。 解：⑥。 ? 例2. 空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。 解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）： ? 考点二? 异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。 例3. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？ 解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。 ? 考点三? “有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。 例4. 求证：过两条平行直线有且只有一个平面。 已知：直线a∥b。 求证：过a，b有且只有一个平面。 证明：?存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。 ?唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面。在直线上任取两点A、B，在直线b上任取一点C，则A、B、C三点不共线。由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理1可知：都过点A、B、C。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。 综上所述：过a，b有且只有一个平面。 ? 考点四? 共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。 例5. 三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。 已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。 证明：因为，故a，b共面 I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平面内，故a∥b；故a∥b∥c。 II、若，则，故知 综上所述：命题成立。 说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交