华师大二附中高二上第一学期圆预习教案.docVIP

圆的方程 复习圆的定义： 平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹。 已知圆心为，半径为，求圆的方程。 （纯粹性）设是圆上任意一点， ∵ 点到圆心的距离， ∴ 点的坐标满足方程。 （完备性） 设点的坐标是该方程的解，即 。 ∵ 点到圆心的距离为， ∴ 是圆上的点。 由（1）、（2）可知，方程是圆心为，半径是的圆的方程。 圆的标准方程为。 当圆心为坐标原点时，圆的方程为。 特别当时，叫做单位圆的方程。 圆的标准方程是圆方程中最基本的。它直接刻画了圆的本质特征：圆心位置和半径大小。 若给出一个二元二次方程，如何判断它是否是一个圆的方程？ 将圆的标准方程展开，得 。 圆的一般方程为。 方程的两个特点：（1）的系数相同；（2）没有项。 二元二次方程是否一定是圆的方程？ 关键要通过配方将变形为：。 讨论的取值情况来判定。 当时，该方程表示一个以为圆心，为半径的圆； 当时，该方程表示一个点； 当时，该方程没有实数解，没有轨迹。 对于圆的标准方程要确定三个常数；对于圆的一般方程要确定三个常数。 1.判断下列各方程是不是圆的方程，若是，请指出圆心坐标和半径。 （1）；是圆的方程。圆心为，半径为。（2）；不是圆的方程。（3）；是圆的方程。 圆心为，半径为。（4）。 。 当时，该方程是圆的方程，圆心为，半径为；当时， 该方程不是圆的方程。2.根据下列条件，求圆的方程： （1）圆过三点；设圆的方程为。 将三点的坐标代入方程，得。∴ 所求的圆方程是。（2）经过点和点，圆心在直线上； 设。。 ∵ ， ∴ 所求的圆方程是。的中点是，， ∴ 线段的中垂线方程是。 ，。 ∴ 所求的圆方程是。 （3）过点，圆心在直线上，且与直线相切；设圆心。 两条平行直线的距离等于圆心到点的距离， 即 。 解得 ，或。 ∴ 所求的圆方程是，。（4）圆心在直线，且与轴、轴都相切；设，或，半径。 由，得 。 由，得 。 ∴ 所求的圆方程是， 。（5）圆的圆心的坐标为，且被直线截得的弦长为设圆的方程为。 ∵ ， ∴ 。∴ 圆的方程是。 （），且与圆切于点。 设所求的圆方程是。 ∵ 圆与圆切于点， ∴ 圆心在直线上。 ∵ 圆心在线段的垂直平分线上， ∴ 圆心的坐标满足方程组 。 解得 。 ∴ 所求的圆方程是。 与圆有关的位置关系 研究点与圆的位置关系。 若，则点在圆内。 若，则点在圆上。 若，则点在圆外。 研究直线与圆的位置关系。 设圆心到直线的距离是。 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离。 研究圆与圆的位置关系（其中）。 设两圆的圆心距为。 当时，两圆相离；当时，两圆外切；当时，两圆相交； 当时，两圆内切；当时，两圆内含。 1.已知圆的方程是，是圆上的点，求过点的切线的方程。 当点不在坐标轴上时，设直线的斜率为，切线的斜率为。 ∵ ， ∴ 切线的方程为，即 。 当点在轴时，切线的方程是；当点在轴时，切线的方程是。 ∴ 点的切线的方程是。 ∵ ，， ∴ ，即过点的切线的方程是。 2.已知圆，点，点，求分别过点的圆的切线方程。 ∵ ， ∴ 点在圆上。 ∴ 过点的切线方程为，即 。 ∵ ， ∴ 点在圆外。 当时，切线方程是。 当时，设切线方程为，即 。 ∵ ， ∴ 过点的切线方程为，。 3.已知一圆半径为，过圆上一定点作一切可能的弦，求分弦为同一定比的点 的轨迹。 设。 ∵ ， ∴ 。 ，代入 ， 得 。 ∴ 点的轨迹是圆（除去点）。 4.从定点向圆任意引一割线，交圆于点，求弦的中点的轨迹。 设中点的坐标是。原点是轨迹上的点。 当点异于点时，， 。 ∵ ， ∴ 。 ∴ 中点的轨迹是圆在圆内的一段弧。 5.已知为圆上任意一点。 （1）求的最值； 设，表示圆上的与点连线的斜率。 当是圆的切线时，取最大值或最小值。 ∵ ， ∴ 。 ∵ 是圆的切线，圆心是， ∴ ，解得 。 ∴ ，。 （2）求的最值； 设，表示一组平行直线在轴上的截距。 当与圆相切时，取最大值或最小值。 ∵ ，得 ， ∴ ， 。 （3）已知，求的最值。 ∵ 是的中线， ∴ 由余弦定理，。 设直线交圆于点。 当点与点重合时，，取最大值。 当点与点重合时，，取最小值。 .已知两圆和的公共弦是。 （1）求公共弦所在直线的方程； 公共弦的定义：相交两圆的两个交点间的线段。 ∵ 两点的坐标都满足方程和， ∴ 两点的坐标也满足方程，即两点的坐标满足直线方程。 ∴ 过两点的直线方程是。 （2）求公共弦为直径的圆方程。 ∵ 或。 ∴ 圆心是，半径是。 ∴ 公共弦为直径的圆方程是。 若圆和圆有两个交点，则过 的直