10-2高等数学同济大学第六版本.docVIP

习题 10?2 1( 设L为xOy面内直线x(a上的一段( 证明( ( 证明 设L是直线x(a上由(a( b1)到(a( b2)的一段( 则L( x(a( y(t( t从b1变到b2( 于是 ( 2. 设L为xOy面内x轴上从点(a( 0)到(b( 0)的一段直线( 证明( 证明L( x(x( y(0( t从a变到b( 所以 ( 3( 计算下列对坐标的曲线积分( (1)( 其中L是抛物线y(x2上从点(0( 0)到点(2( 4) 的一段弧( 解 L( y(x2( x从0变到2( 所以 ( (2)( 其中L为圆周(x(a)2(y2(a2(a(0)及x轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)( 解 L(L1(L2( 其中 L1( x(a(acos t( y(asin t ( t从0变到(( L2( x(x( y(0( x从0变到2a( 因此 ( (3)( 其中L为圆周x(Rcost( y(Rsint上对应t从0到 的一段弧( 解 ( (4)( 其中L为圆周x2(y2(a2(按逆时针方向绕行)( 解 圆周的参数方程为( x(acos t( y(asin t( t从0变到2(( 所以 ( (5)( 其中(为曲线x(k(( y(acos(( z(asin(上对 应(从0到(的一段弧( 解 ( (6)( 其中(是从点(1( 1( 1)到点(2( 3( 4)的 一段直线( 解 (的参数方程为x(1(t( y(1(2t( z(1(3t( t从0变到1( ( (7)( 其中(为有向闭折线ABCA ( 这里的A( B( C 依次为点(1( 0( 0)( (0( 1( 0)( (0( 0( 1)( 解 ((AB(BC(CA( 其中 AB( x(x( y(1(x( z(0( x从1变到0( BC( x(0( y(1(z( z(z( z从0变到1( CA( x(x( y(0( z(1(x( x从0变到1( 故 ( (8)( 其中L是抛物线y(x2上从((1( 1) 到(1( 1)的一段弧( 解 L( x(x( y(x2( x从(1变到1( 故 4( 计算( 其中L是( (1)抛物线y(x2上从点(1( 1)到点(4( 2)的一段弧( 解 L( x(y2( y(y( y从1变到2( 故 ( (2)从点(1( 1)到点(4( 2)的直线段( 解 L( x(3y(2( y(y( y从1变到2( 故 (3)先沿直线从点(1( 1)到(1( 2)( 然后再沿直线到点(4( 2)的折线( 解 L(L1(L2( 其中 L1( x(1( y(y( y从1变到2( L2( x(x( y(2( x从1变到4( 故 ( (4)沿曲线x(2t2(t(1( y(t2(1上从点(1( 1)到(4( 2)的一段弧( 解 L( x(2t2(t(1( y(t2(1( t从0变到1( 故 ( 5( 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成( 试求当一质量为m 的质点沿圆周x2(y2(R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功( 解 已知场力为F((|F|( 0)( 曲线L的参数方程为 x(R cos (( y(R sin (( (从0变到( 于是场力所作的功为 ( 6( 设z轴与力方向一致( 求质量为m的质点从位置(x1( y1( z1) 沿直线移到(x2( y2( z2)时重力作的功( 解 已知F((0( 0( mg)( 设(为从(x1( y1( z1)到(x2( y2( z2)的直线( 则重力所作的功为 ( 7( 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线 积分( 其中L为( (1)在xOy面内沿直线从点(0( 0)到(1( 1)( 解 L的方向余