12-9高等数学同济大学第六版本.docVIP

习题12(9 1( 求下列各微分方程的通解( (1)2y(((y((y(2ex( 解 微分方程的特征方程为 2r2(r(1(0( 其根为( r2((1( 故对应的齐次方程的通解为 ( 因为f(x)(2ex ( ((1不是特征方程的根( 故原方程的特解设为 y*(Aex( 代入原方程得 2Aex(Aex(Aex(2ex( 解得A(1( 从而y*(ex( 因此( 原方程的通解为 ( (2)y(((a2y(ex( 解 微分方程的特征方程为 r2(a2(0( 其根为r((ai( 故对应的齐次方程的通解为 Y(C1cos ax(C2sin ax( 因为f(x)(ex( ((1不是特征方程的根( 故原方程的特解设为 y*(Aex( 代入原方程得 Aex(a2Aex(ex( 解得( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (3)2y(((5y((5x2(2x(1( 解 微分方程的特征方程为 2r2(5r(0( 其根为r1(0( ( 故对应的齐次方程的通解为 ( 因为f(x)(5x2(2x(1( ((0是特征方程的单根( 故原方程的特解设为 y*(x(Ax2(Bx(C)( 代入原方程并整理得 15Ax2((12A(10B)x((4B(5C)(5x2(2x(1( 比较系数得( ( ( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (4)y(((3y((2y(3xe(x( 解 微分方程的特征方程为 r2(3r(2(0( 其根为r1((1( r2((2( 故对应的齐次方程的通解为 Y(C1e(x(C2e(2x( 因为f(x)(3xe(x( (((1是特征方程的单根( 故原方程的特解设为 y*(x(Ax(B)e(x( 代入原方程并整理得 2Ax((2A(B)(3x( 比较系数得( B((3( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (5)y(((2y((5y(exsin2x( 解 微分方程的特征方程为 r2(2r(5(0( 其根为r1( 2(1(2i( 故对应的齐次方程的通解为 Y(ex(C1cos2x(C2sin2x)( 因为f(x)(exsin2x( ((i((1(2i是特征方程的根( 故原方程的特解设为 y*(xex(Acos2x(Bsin2x)( 代入原方程得 ex[4Bcos2x(4Asin2x](exsin2x( 比较系数得( B(0( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (6)y(((6y((9y((x(1)e3x( 解 微分方程的特征方程为 r2(6r(9(0( 其根为r1(r2(3( 故对应的齐次方程的通解为 Y(e3x(C1(C2x)( 因为f(x)((x(1)e3x( ((3是特征方程的重根( 故原方程的特解设为 y*(x2e3x(Ax(B)( 代入原方程得 e3x(6Ax(2B)(e3x(x(1)( 比较系数得( ( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (7)y(((5y((4y(3(2x( 解 微分方程的特征方程为 r2(5r(4(0( 其根为r1((1( r2((4( 故对应的齐次方程的通解为 Y(C1e(x(C2e(4x( 因为f(x)(3(2x((3(2x)e0x( ((0不是特征方程的根( 故原方程的特解设为 y*(Ax(B( 代入原方程得 4Ax((5A(4B)((2x(3( 比较系数得( ( 从而( 因此( 原方程的通解为 ( (8)y(((4y(xcos x( 解 微分方程的特征方程为 r2(4(0( 其根为r((2i( 故对应的齐次方程的通解为 Y(C1cos2x(C2sin2x( 因为f(x)( xcos x(e0x(x(cos x(0(sin x)( ((i((i不是特征方程的根( 故原方程的特解设为