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寻 觅 那 弦 外 之 音 ——话说一道高考数学题 戴维纲 作者简介：戴维纲，1947年6月生，中学高级教师，厦门一中数学教研组组长。 一说“燕归来” 福建省2005年高考数学（理）试题22为： 考题A 已知数列{},满足＝a, =1+.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列。如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，，…；当a=－时，得到有穷数列： －，－1，0。 （Ⅰ）求当a为何值时，＝0； （Ⅱ）设数列{}满足＝－1，＝（nN）.求证a取数列{}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}； （Ⅲ）若2(n4),求a的取值范围. 这道数列题看似平常，“似曾相识燕归来”——源于教材，高于教材而已。我省通用的高一课本在介绍通项有递推关系的数列类型时，举过如下 例题A’ 设＝1，=1+(n2)，求出数列{}的前5项. 然而，归来的燕子不寻常。它带来的不仅有春播的气息，更带有秋收的期望，期望平时对教学有所探讨的师生们在不超纲的限度内，对这一题型有深化的认识，有预期的收获。确实的，诸位，你能说考题A的小题（Ⅰ）难度几何？她已经给出了分值4。再论小题（Ⅱ），显然需要有一定的归纳能力要求，但思路分明，不设蹊跷，无非是一道归纳验证题，正如数十人的评卷题组在分析该题的可能解题思路时，坦言：变化不大，好改。又给出了分值5。最后的5分就在于解小题（Ⅲ），它要求对不等式（组）的求解中适当发挥求解者的逻辑思维与分析能力了。如此说来，从例题A’到考题A，是合情合理的考书不离书，适度深化。有人质疑这份试卷的过于平实风格，担心会亏待那些优秀的学生：如此一条通向顶峰的成功之路，一路顺顺当当。大家乐滋滋，风火火往前赶，不见得你我前后高下，到得临近终点时，突兀一堵墙，就在此墙下一决雌雄了。诚然，纵观全卷，一路陷阱无，坎坷少，“能有区分度的分布点偏少”。如上述细分解起来，考题A的“这堵墙”再一分为三截的话，还是吻合 全卷的平实风格的：且问，对那些在前20题“只需耗时一半”的考生，既然有足够多的剩余时间，只要心态好，发挥正常，会在小墙（Ⅰ）和（Ⅱ）前驻足吗？如此说来，考题A尽管是压轴，总体仍体现全卷“精英教育走向大众教育”的导向趋势，对保护全省中学生学 习数学的积极性，导引一线教师在数学教学上下“三基”真功夫，从题山题海中解脱出来，是有现实意义的。 再问“燕归来” 从例题A’到“燕归来”的考题A，似乎仍有余音绕梁之感，值得一究。考题A自然带出如下一些问题： 问题B 使{}成为有穷数列的初使值a的充分必要条件是什么？ 这个问题是对考题A的（Ⅱ）（作为充分条件）的必然诘问。 问题C 当适当取定初值a ,使{}成为无穷数列后，这个数列是否收敛？其极限值可求吗？如果不收敛，敛散性与a值何关？ 问题D 在无穷数列{}收敛的前提下，极限值是否与初始值a有关？如何相关（无关）？ 问题B的回答是 定理1 当且仅当a=0或a取为数列{}中的某一项时，数列{}是有穷数列。 定理B的证明归结为如下 命题1 由＝－1，＝（nN）决定的数列有通项公式＝－（n N），其中{}是个菲波那契（Fibonacci）数列，即＝＝1，对每个n3,都由＝＋确定，菲波那契数列的前20项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，144，233，377，610，987，1597，2514，4181，6765，…，这是一个趋于无穷的自然数列，而＝，故也有＝＋（n3）。 命题1的验证用归纳法：n=1时，＝－1＝－＝－＝－显然成立。 归纳假设，＝－＝－（k N）成立，则 ＝＝＝－＝－＝－,命题证毕。 命题2 对取定值a,由＝a, =1+（n N）确定的数列 （当第一次出现＝0，（n N）时，设定该数列为有穷数列，……， ），有通项＝，注意到＝，也写为（n2）(这里由于事先未知分母是否为零，故的通项公式还只是形式表出)。 命题2的证明从略，因为用菲波那契数列的最基本性质＝＋（n3），按归纳法步骤即可完成，如同证命题1。 现在定理B的证明实际上已经完成：按设定，{}是有穷数列有一个第一次出现的＝0或＝1，即＝a=0,或按命题2，有一个最小的＝n’+1,使＝＝＝0（这时必分母不为0）或＝a=0, 或的分子为0，即a=＝－ . 再引入一个著名的结果： 命题3 菲波那契数列是一个“近似